Le produit scalaire
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Dans un triangle ABC, on a AB = 5, AC = 7 et l'angle = 60°. Calcule la longueur BC.
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On utilise le théorème d'Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(Â).
BC² = 5² + 7² − 2×5×7×cos(60°).
BC² = 25 + 49 − 70 × 0,5.
BC² = 74 − 35 = 39.
Donc BC = √39 ≈ 6,24.
La longueur BC vaut √39, soit environ 6,24. - 2
On considère les points A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(2 ; 6). Calcule une mesure de l'angle BAC arrondie au dixième de degré.
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On forme les vecteurs partant de A.
AB(4−1 ; 3−2) = AB(3 ; 1) et AC(2−1 ; 6−2) = AC(1 ; 4).
Produit scalaire : AB·AC = 3×1 + 1×4 = 3 + 4 = 7.
Normes : ‖AB‖ = √(3²+1²) = √10 et ‖AC‖ = √(1²+4²) = √17.
cos(BAC) = = = ≈ 0,537.
Donc BAC ≈ 57,5°. - 3
On sait que ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 4 et u·v = 5. Calcule ‖u + v‖².
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Détermine la valeur du réel k pour que les vecteurs u(2 ; k) et v(3 ; −4) soient orthogonaux.
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On considère la droite d d'équation 2x − 3y + 6 = 0. Donne un vecteur normal à d, puis un vecteur directeur de d.
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Détermine une équation de la droite passant par le point A(1 ; 2) et admettant n(3 ; 1) comme vecteur normal.
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On sait que ‖u + v‖² = 50, ‖u‖ = 4 et ‖v‖ = 5. Calcule le produit scalaire u·v.
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On donne u(1 ; 3) et v(2 ; −1). Calcule le produit scalaire (u + 2v)·(u − v).
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Dans un triangle ABC, on a BC = 6, AC = 5 et AB = 4. Calcule une mesure de l'angle au dixième de degré près.
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On considère les points A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(0 ; 4). Montre que le triangle ABC est rectangle et précise en quel sommet.
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