Le produit scalaire
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Dans un repère orthonormé, on donne u(3 ; 4) et v(1 ; 2). Calcule le produit scalaire u·v.
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Dans un repère orthonormé, si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors u·v = xx' + yy'.
Ici x = 3, y = 4, x' = 1, y' = 2.
u·v = 3×1 + 4×2 = 3 + 8 = 11.
Le produit scalaire vaut 11 (c'est un nombre, pas un vecteur). - 2
On sait que ‖u‖ = 4, ‖v‖ = 5 et que l'angle entre u et v mesure θ = 45°. Calcule u·v.
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On utilise l'expression avec les normes et l'angle : u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ).
u·v = 4 × 5 × cos(45°).
Or cos(45°) = .
u·v = 20 × = 10√2.
Valeur approchée : 10 × 1,414 ≈ 14,14.
Réponse exacte : u·v = 10√2. - 3
Les vecteurs u(2 ; −3) et v(6 ; 4) sont-ils orthogonaux ?
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On donne le vecteur u(5 ; −1). Calcule le carré scalaire u·u, puis déduis-en la norme ‖u‖.
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Calcule u·v pour u(−2 ; 5) et v(3 ; 1).
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On donne u(1 ; 0) et v(1 ; 1). Calcule u·v, les normes ‖u‖ et ‖v‖, puis l'angle θ entre les deux vecteurs.
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Calcule u·v sachant que ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 8 et θ = 60°.
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Les vecteurs u(4 ; 2) et v(−1 ; 2) sont-ils orthogonaux ? Justifie.
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Calcule la norme du vecteur u(6 ; 8).
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Calcule u·v pour u(7 ; −2) et v(−3 ; −5).
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