Fonctions trigonométriques

🟠 Difficile

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1
Calcule $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ .
a) Utilise la parité des fonctions cosinus et sinus.
b) Calcule ensuite $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$ et vérifie par un calcul direct.
Voir le corrigéoffert
a) Le cosinus est pair : $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ .
Le sinus est impair : $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

b) La formule donne $\cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \sin(a)$ , donc le résultat vaut $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Calcul direct : $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ , et $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
2
Un angle $x$ vérifie $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ et $\sin(x) > 0$ .
a) Détermine $x$ dans $[0 \,;\, 2\pi]$ .
b) Calcule $\sin(x)$ .
Voir le corrigéoffert
a) Le cosinus est négatif et le sinus positif : le point est dans le deuxième quadrant.
La valeur de référence est $\frac{\pi}{3}$ , car $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ .
Donc $x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ .

b) $\sin^{2}(x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ , et le sinus est positif.
$\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Résous l'équation $\sin(x) = -\frac{1}{2}$ sur $[0 \,;\, 2\pi]$ .
a) Détermine la valeur de référence.
b) Donne toutes les solutions.
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4
On sait que $\cos(x) = -\frac{3}{5}$ et que $x \in [\pi \,;\, 2\pi]$ .
a) Calcule $\sin(x)$ .
b) Calcule $\cos(x + \pi)$ et $\sin(x + \pi)$ .
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5
En remarquant que $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ :
a) Calcule $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ .
b) Dans quel quadrant se situe ce point du cercle trigonométrique ?
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6
On sait que $\sin(x) = \frac{12}{13}$ et que $x \in \left[\frac{\pi}{2} \,;\, \pi\right]$ .
a) Calcule $\cos(x)$ .
b) Calcule $\cos(\pi - x)$ et $\sin(\pi - x)$ .
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7
On sait que $\cos(x) = \frac{4}{5}$ et que $x \in \left[0 \,;\, \frac{\pi}{2}\right]$ .
a) Calcule $\sin(x)$ .
b) Calcule $\cos(-x)$ et $\sin(-x)$ .
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8
En remarquant que $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$ :
a) Calcule $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ .
b) Vérifie que $\cos^{2} + \sin^{2} = 1$ pour cet angle.
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9
Résous l'équation $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[0 \,;\, 2\pi]$ .
a) Donne les solutions.
b) Résous ensuite $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ sur le même intervalle.
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10
On considère l'angle $\frac{9\pi}{4}$ .
a) Ramène-le dans $[0 \,;\, 2\pi[$ en retirant un tour complet.
b) Calcule son cosinus et son sinus.
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