Fonctions trigonométriques

Soit x un réel de l'intervalle [$\frac{\pi }{2}$ ; π] tel que sin(x) = $\frac{1}{4}$.
a) Calculer la valeur exacte de cos(x).
b) En déduire cos(π + x) et sin(π − x).
c) Calculer cos($\frac{\pi }{2}$ − x) et sin($\frac{\pi }{2}$ + x).

On s'intéresse à l'équation 2sin(x) = 1.
a) Résoudre sin(x) = $\frac{1}{2}$ sur [0 ; 2π].
b) Donner l'ensemble de toutes les solutions réelles.
c) Combien y a-t-il de solutions dans l'intervalle [0 ; 6π] ?

Soit x un réel tel que cos(x) + sin(x) = $\frac{1}{2}$.
a) En élevant l'égalité au carré, montrer que cos(x) × sin(x) = −$\frac{3}{8}$.
b) Calculer (cos(x) − sin(x))².
c) En déduire les deux valeurs possibles de cos(x) − sin(x).

Pour tout réel x, on pose A = cos(π − x) + cos(π + x) et B = sin($\frac{\pi }{2}$ + x) + sin($\frac{\pi }{2}$ − x).
a) Simplifier A en fonction de cos(x).
b) Simplifier B en fonction de cos(x).
c) En déduire une expression simple de A + B.

On veut résoudre l'équation cos(2x) = $\frac{1}{2}$ sur l'intervalle [0 ; 2π].
a) Résoudre d'abord cos(t) = $\frac{1}{2}$ pour t réel (toutes les solutions).
b) En posant t = 2x, en déduire toutes les solutions réelles de cos(2x) = $\frac{1}{2}$.
c) Donner les solutions appartenant à [0 ; 2π].

Dans un cercle de centre O et de rayon 6 cm, on considère des arcs de cercle.
a) Calculer la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de mesure $\frac{2\pi }{3}$ rad.
b) Un autre arc du même cercle a pour longueur 9π cm : quelle est, en radians, la mesure de l'angle au centre correspondant ?
c) Convertir cette dernière mesure en degrés.

Pour chacun des réels suivants, préciser dans quel quadrant se trouve le point M du cercle trigonométrique et donner les signes de cos et de sin.
a) x = $\frac{3\pi }{4}$
b) x = $\frac{7\pi }{6}$
c) x = $\frac{11\pi }{6}$
d) Donner de plus les valeurs exactes de cos($\frac{3\pi }{4}$) et sin($\frac{3\pi }{4}$).

On cherche les réels x de [0 ; 2π] tels que sin(x) = cos(x).
a) En utilisant un angle associé, montrer que l'équation équivaut à cos($\frac{\pi }{2}$ − x) = cos(x).
b) Résoudre cette équation sur [0 ; 2π].
c) Vérifier le résultat en calculant cos et sin pour les solutions trouvées.

Pour tout réel x, on pose F(x) = cos(π − x) + 2sin($\frac{\pi }{2}$ + x).
a) Exprimer cos(π − x) en fonction de cos(x).
b) Exprimer sin($\frac{\pi }{2}$ + x) en fonction de cos(x).
c) En déduire une expression simplifiée de F(x).
d) Calculer F($\frac{\pi }{6}$) puis F(π).

Soit x un réel de [0 ; $\frac{\pi }{2}$] tel que 5cos(x) = 3.
a) Déterminer cos(x) puis sin(x).
b) Calculer cos(x) + sin(x) et cos(x) − sin(x).
c) Calculer le produit cos(x) × sin(x).
d) Vérifier l'égalité (cos(x) + sin(x))² − (cos(x) − sin(x))² = 4cos(x)sin(x).

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = cos(x).
a) En utilisant la parité et la périodicité, expliquer pourquoi l'étude sur [0 ; π] suffit à connaître toute la courbe.
b) Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; π].
c) Donner les coordonnées des points de la courbe d'abscisses 0, $\frac{\pi }{2}$ et π, et préciser lesquels sont un maximum ou un minimum.