Variables aléatoires réelles

🟠 Difficile

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1
On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat est un multiple de 3, on gagne 6 € ; sinon on perd 2 €. On note X le gain.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et dis si le jeu est favorable au joueur.
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a) Les multiples de 3 sont 3 et 6 : deux faces sur six.
$P(X = 6) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .
Les quatre autres faces donnent $-2$ : $P(X = -2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .
Contrôle : $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ ✓.

b) $E(X) = 6 \times \frac{1}{3} + (-2) \times \frac{2}{3} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}67$ €.
L'espérance est positive : le jeu est favorable au joueur.
Sur un grand nombre de parties, il gagnerait environ 0,67 € par partie.
Pour rendre le jeu équitable, il faudrait que l'espérance soit nulle.
En notant $g$ le gain en cas de succès : $\frac{g}{3} - \frac{4}{3} = 0$ donne $g = 4$ €.
Un gain de 4 € au lieu de 6 € équilibrerait donc exactement le jeu.
2
Une variable aléatoire X prend les valeurs $-3$ , 0, 2 et 5, avec $P(X = -3) = 0{,}2$ , $P(X = 0) = 0{,}3$ , $P(X = 2) = 0{,}4$ .
a) Détermine $P(X = 5)$ , puis calcule $E(X)$ .
b) Calcule $V(X)$ et $\sigma(X)$ , arrondis au centième.
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a) La somme des probabilités vaut 1 : $P(X = 5) = 1 - 0{,}2 - 0{,}3 - 0{,}4 = 0{,}1$ .
$E(X) = -3 \times 0{,}2 + 0 \times 0{,}3 + 2 \times 0{,}4 + 5 \times 0{,}1$ .
$= -0{,}6 + 0 + 0{,}8 + 0{,}5 = 0{,}7$ .

b) $E(X^{2}) = 9 \times 0{,}2 + 0 + 4 \times 0{,}4 + 25 \times 0{,}1 = 1{,}8 + 1{,}6 + 2{,}5 = 5{,}9$ .
$V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2} = 5{,}9 - 0{,}49 = 5{,}41$ .
$\sigma(X) = \sqrt{5{,}41} \approx 2{,}33$ .
L'écart-type s'exprime dans la même unité que X, ce qui le rend plus lisible que la variance.
Ici, les valeurs de X s'écartent en moyenne de 2,33 autour de l'espérance 0,7.
C'est beaucoup au regard de l'étendue de X, qui va de $-3$ à 5.
3
Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2, 3 et 4. On sait que $P(X = 1) = P(X = 2) = 0{,}15$ et que $P(X = 3)$ est le triple de $P(X = 4)$ .
a) Détermine la loi complète de X.
b) Calcule $E(X)$ .
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4
Pour jouer, on mise 3 €. On tire une carte numérotée de 1 à 20 ; si le numéro est supérieur ou égal à 17, on reçoit 12 €, sinon rien. On note X le gain net.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et interprète.
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5
Une variable aléatoire X vérifie $E(X) = 4$ et $V(X) = 9$ . On pose $Y = -3X + 5$ .
a) Calcule $E(Y)$ .
b) Calcule $V(Y)$ et $\sigma(Y)$ .
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6
On lance trois pièces équilibrées. On note X le nombre de « pile » obtenus.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et $V(X)$ .
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7
Une roue comporte 10 secteurs identiques : 1 rapporte 50 €, 3 rapportent 10 €, les autres rien. La partie coûte 8 €. On note X le gain net.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et conclus.
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8
Une variable aléatoire X suit la loi : $P(X = 0) = 0{,}5$ , $P(X = 10) = 0{,}5$ . Une variable Y suit : $P(Y = 4) = 0{,}5$ , $P(Y = 6) = 0{,}5$ .
a) Calcule $E(X)$ et $E(Y)$ .
b) Calcule $V(X)$ et $V(Y)$ , puis compare les deux lois.
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9
On lance un dé équilibré à 4 faces, numérotées de 1 à 4. On note X le carré du résultat.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et compare-la à $\big(E(\text{résultat})\big)^{2}$ .
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10
Un assureur propose un contrat à 120 € par an. Il estime qu'un sinistre, coûtant 2 000 €, survient avec une probabilité de 0,05. On note X le bénéfice de l'assureur par contrat.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et interprète pour 10 000 contrats.
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