Variables aléatoires réelles

🟠 Difficile

Les énoncés sont gratuits, et les 2 premiers corrigés sont offerts. Les autres corrigés détaillés sont réservés aux abonnés.

1
On lance un dé équilibré à 4 faces, numérotées de 1 à 4. On note X le carré du résultat.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et compare-la à $\big(E(\text{résultat})\big)^{2}$ .
Voir le corrigéoffert
a) X prend les valeurs 1, 4, 9 et 16, chacune avec probabilité $\frac{1}{4}$ .

b) $E(X) = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5$ .
L'espérance du résultat vaut $\frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = 2{,}5$ , dont le carré vaut 6,25.
Les deux nombres diffèrent : $E(X^{2}) \neq E(X)^{2}$ .
L'écart, $7{,}5 - 6{,}25 = 1{,}25$ , est précisément la variance du résultat.
2
On lance trois pièces équilibrées. On note X le nombre de « pile » obtenus.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et $V(X)$ .
Voir le corrigéoffert
a) Il y a $2^{3} = 8$ issues équiprobables.
0 pile : une seule issue (FFF), donc $P(X = 0) = \frac{1}{8}$ .
1 pile : trois issues, donc $P(X = 1) = \frac{3}{8}$ .
2 piles : trois issues, donc $P(X = 2) = \frac{3}{8}$ .
3 piles : une issue, donc $P(X = 3) = \frac{1}{8}$ .

b) $E(X) = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ .
$E(X^{2}) = \frac{0 + 3 + 12 + 9}{8} = \frac{24}{8} = 3$ .
$V(X) = 3 - 1{,}5^{2} = 3 - 2{,}25 = 0{,}75$ .
L'écart-type vaut $\sqrt{0{,}75} \approx 0{,}87$ .
L'espérance 1,5 est la moitié de 3 : c'est logique, chaque pièce donne pile une fois sur deux.
La loi est symétrique autour de 1,5, ce qui explique que l'espérance tombe entre deux valeurs.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
S'abonner
Le pack de révision, gratuit
L'essentiel des dix premiers chapitres du programme, en PDF : ce qu'il faut retenir et les questions qui vérifient que c'est acquis. Puis 5 e-mails sur 14 jours, et c'est tout.
Ton adresse e-mail
La classe
J'accepte de recevoir le pack de révision et quelques conseils de méthode par e-mail. Je peux me désinscrire en un clic, et mon adresse ne sera jamais transmise à personne. Politique de confidentialité.
3
Un assureur propose un contrat à 120 € par an. Il estime qu'un sinistre, coûtant 2 000 €, survient avec une probabilité de 0,05. On note X le bénéfice de l'assureur par contrat.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et interprète pour 10 000 contrats.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
4
Une variable aléatoire X vérifie $E(X) = 4$ et $V(X) = 9$ . On pose $Y = -3X + 5$ .
a) Calcule $E(Y)$ .
b) Calcule $V(Y)$ et $\sigma(Y)$ .
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
5
Une variable aléatoire X prend les valeurs $-3$ , 0, 2 et 5, avec $P(X = -3) = 0{,}2$ , $P(X = 0) = 0{,}3$ , $P(X = 2) = 0{,}4$ .
a) Détermine $P(X = 5)$ , puis calcule $E(X)$ .
b) Calcule $V(X)$ et $\sigma(X)$ , arrondis au centième.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
6
On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat est un multiple de 3, on gagne 6 € ; sinon on perd 2 €. On note X le gain.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et dis si le jeu est favorable au joueur.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
7
Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2, 3 et 4. On sait que $P(X = 1) = P(X = 2) = 0{,}15$ et que $P(X = 3)$ est le triple de $P(X = 4)$ .
a) Détermine la loi complète de X.
b) Calcule $E(X)$ .
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
8
Une variable aléatoire X suit la loi : $P(X = 0) = 0{,}5$ , $P(X = 10) = 0{,}5$ . Une variable Y suit : $P(Y = 4) = 0{,}5$ , $P(Y = 6) = 0{,}5$ .
a) Calcule $E(X)$ et $E(Y)$ .
b) Calcule $V(X)$ et $V(Y)$ , puis compare les deux lois.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
9
Pour jouer, on mise 3 €. On tire une carte numérotée de 1 à 20 ; si le numéro est supérieur ou égal à 17, on reçoit 12 €, sinon rien. On note X le gain net.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et interprète.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
10
Une roue comporte 10 secteurs identiques : 1 rapporte 50 €, 3 rapportent 10 €, les autres rien. La partie coûte 8 €. On note X le gain net.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule $E(X)$ et conclus.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →

Comment ça s'est passé ?

Retrouve tout dans Mon suivi.

Et maintenant ?

Niveau ExpertContinue à t'entraîner

Ou au choix

Revoir le coursLa fiche de leçon Fiche interactiveL'atelier à faire en ligne Examen du chapitreTeste-toi, noté /20 Annales du BacSujets d'examen corrigés Chapitre suivant : Algorithmique et programmation (Python)On continue le programme

Le pack de révision, gratuit

L'essentiel des dix premiers chapitres du programme, en PDF : ce qu'il faut retenir et les questions qui vérifient que c'est acquis. Puis 5 e-mails sur 14 jours, et c'est tout.

Partager avec ma classe

Les énoncés de cette page sont gratuits et s'ouvrent sans compte : l'adresse peut être donnée telle quelle, au tableau ou dans l'espace numérique de travail.

← Changer de niveau