Variables aléatoires réelles

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1
Une variable aléatoire X prend la valeur 1 avec la probabilité 0,6 et la valeur 0 avec la probabilité 0,4. Calcule E(X), V(X) et σ(X).
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Étape 1 : espérance. $E(X) = 1 \times 0{,}6 + 0 \times 0{,}4 = 0{,}6$ .
Étape 2 : $E(X^{2})$ . Comme $1^{2} = 1$ et $0^{2} = 0$ : $E(X^{2}) = 1 \times 0{,}6 + 0 \times 0{,}4 = 0{,}6$ .
Étape 3 : variance (König-Huygens). $V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2} = 0{,}6 - 0{,}6^{2} = 0{,}6 - 0{,}36 = 0{,}24$ .
Étape 4 : écart type. $\sigma (X) = \sqrt{0{,}24} \approx 0{,}49$ .
Donc $E(X) = 0{,}6$ ; $V(X) = 0{,}24$ ; $\sigma (X) \approx 0{,}49$ .
2
Pour une variable aléatoire X, on connaît $E(X) = 2$ et $E(X^{2}) = 6$ . Calcule la variance V(X) puis l'écart type σ(X).
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On utilise la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2}$ .
Étape 1 : on calcule $E(X)^{2} = 2^{2} = 4$ .
Étape 2 : $V(X) = 6 - 4 = 2$ .
Étape 3 : l'écart type est la racine carrée de la variance.
$\sigma (X) = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ .
Donc $V(X) = 2$ et $\sigma (X) = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ .
3
On sait que $V(X) = 4$ . En utilisant la propriété de la variance, calcule $V(2X + 7)$ puis $\sigma (2X + 7)$ .
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4
On sait que $E(X) = 5$ . En utilisant la linéarité de l'espérance, calcule $E(3X + 2)$ et $E(-X + 10)$ .
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5
À un jeu, le gain X (en euros) vaut $+10$ avec la probabilité 0,2 et $-2$ avec la probabilité 0,8. Calcule l'espérance de gain E(X) et dis si le jeu est équitable.
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6
Une variable aléatoire X prend les valeurs $-1$ , 0 et 1 avec $P(X=-1) = 0{,}3$ ; $P(X=0) = 0{,}4$ ; $P(X=1) = 0{,}3$ . Calcule E(X).
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7
Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1, 2 et 3. On sait que $P(X=0) = 0{,}15$ ; $P(X=1) = 0{,}4$ ; $P(X=2) = 0{,}3$ . Calcule $P(X=3)$ .
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8
Une variable aléatoire X prend la valeur $-2$ avec la probabilité $\frac{1}{4}$ et la valeur 6 avec la probabilité $\frac{3}{4}$ . Calcule E(X).
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9
Une variable aléatoire X prend les valeurs 2, 5 et 10 avec $P(X=2) = 0{,}5$ ; $P(X=5) = 0{,}3$ ; $P(X=10) = 0{,}2$ . Calcule l'espérance E(X).
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10
Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 3 et 4 avec $P(X=1) = 0{,}2$ ; $P(X=3) = 0{,}5$ ; $P(X=4) = 0{,}3$ . Calcule $E(X^{2})$ .
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