Variables aléatoires réelles

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1
On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on note X la somme des deux résultats.
a) Détermine la loi de probabilité de X.
b) Calcule E(X).
c) Calcule V(X) puis σ(X).
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Il y a 6 × 6 = 36 issues équiprobables (chaque couple de résultats a la probabilité $\frac{1}{36}$ ).
a) On compte, pour chaque somme, le nombre de couples qui la donnent :
X=2 : (1,1) → $\frac{1}{36}$
X=3 : 2 couples → $\frac{2}{36}$
X=4 : 3 couples → $\frac{3}{36}$
X=5 : 4 couples → $\frac{4}{36}$
X=6 : 5 couples → $\frac{5}{36}$
X=7 : 6 couples → $\frac{6}{36}$
X=8 : 5 couples → $\frac{5}{36}$
X=9 : 4 couples → $\frac{4}{36}$
X=10 : 3 couples → $\frac{3}{36}$
X=11 : 2 couples → $\frac{2}{36}$
X=12 : 1 couple → $\frac{1}{36}$
Vérification : 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36, la somme des probabilités vaut bien 1.
b) La loi est symétrique autour de 7, donc E(X) = 7. (On peut aussi calculer la somme Σ xᵢpᵢ, on retrouve 7.)
c) On calcule E(X²) = Σ xᵢ²pᵢ. En regroupant chaque carré multiplié par son effectif, la somme des numérateurs est :
4×1 + 9×2 + 16×3 + 25×4 + 36×5 + 49×6 + 64×5 + 81×4 + 100×3 + 121×2 + 144×1 = 1974.
Donc E(X²) = $\frac{1974}{36}$ = $\frac{329}{6}$ ≈ 54,83.
V(X) = E(X²) − E(X)² = $\frac{329}{6}$ − 7² = $\frac{329}{6}$ − $\frac{294}{6}$ = $\frac{35}{6}$ ≈ 5,83.
σ(X) = √( $\frac{35}{6}$ ) ≈ 2,42.
Donc E(X) = 7 ; V(X) = $\frac{35}{6}$ ≈ 5,83 ; σ(X) ≈ 2,42.
2
On lance un dé équilibré à 6 faces. Le joueur reçoit en euros le carré du numéro obtenu (par exemple 9 € pour un « 3 »). Pour jouer, il paie une mise m.
a) On note G le gain brut (avant la mise). Calcule E(G).
b) Pour quelle mise m le jeu est-il équitable ?
c) Avec une mise de 15 €, le jeu est-il favorable au joueur ou à l'organisateur ?
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a) G prend les valeurs 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, chacune avec la probabilité $\frac{1}{6}$ .
E(G) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) × $\frac{1}{6}$ = 91 × $\frac{1}{6}$ = $\frac{91}{6}$ ≈ 15,17 €.
b) Le gain net est X = G − m. Par linéarité, E(X) = E(G) − m = $\frac{91}{6}$ − m.
Le jeu est équitable si E(X) = 0, soit m = $\frac{91}{6}$ ≈ 15,17 €.
c) Avec m = 15 : E(X) = $\frac{91}{6}$ − 15 = $\frac{91}{6}$ − $\frac{90}{6}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0,17 € et $\frac{1}{6}$ > 0.
L'espérance de gain du joueur est positive : le jeu est légèrement favorable au joueur (et donc défavorable à l'organisateur).
3
Les notes X d'un contrôle (sur 20) ont pour espérance E(X) = 11 et pour écart type σ(X) = 4.
a) Le professeur applique la transformation Y = 1,5X − 2. Calcule E(Y), V(Y) et σ(Y).
b) Il préfère finalement ajouter simplement des points : Z = X + c. Quelle valeur de c donne une moyenne de 12 ? Que devient l'écart type ?
c) Existe-t-il une transformation affine Y = aX + b (avec a > 0) telle que E(Y) = 10 et σ(Y) = 2 ? Si oui, détermine a et b.
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4
Deux jeux d'argent sont proposés.
Jeu A : le gain X vaut +3 € ou −1 €, chacun avec la probabilité 0,5.
Jeu B : le gain Y vaut +10 € avec la probabilité 0,2 et −2 € avec la probabilité 0,8.
a) Calcule E(X) et E(Y). Quel jeu est le plus intéressant en moyenne ?
b) Calcule σ(X) et σ(Y).
c) Un joueur veut gagner en moyenne tout en limitant les risques. Que lui conseiller ?
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5
Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2, 3 et 4 avec, pour chaque entier k, P(X=k) = k × a (où a est un nombre positif fixé).
a) Détermine la valeur de a.
b) Calcule E(X).
c) Calcule V(X) et σ(X).
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6
Une compagnie propose une assurance au prix de 50 € par an. En cas de sinistre, qui survient avec la probabilité 0,03, elle rembourse 1200 € à l'assuré.
a) On note X le gain annuel de la compagnie pour un contrat. Donne la loi de X et calcule E(X).
b) La compagnie a 10 000 contrats. Quel bénéfice moyen peut-elle espérer ?
c) À partir de quelle prime annuelle p le contrat rapporte-t-il en moyenne au moins 20 € à la compagnie ?
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7
Un dé à 6 faces est truqué : la face 6 sort avec la probabilité 0,3, et les faces 1, 2, 3, 4, 5 sont équiprobables entre elles. On note X le numéro obtenu.
a) Détermine la probabilité de chacune des faces 1 à 5.
b) Calcule E(X).
c) Calcule V(X) et σ(X).
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8
On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. À chaque « pile » on gagne 2 €, à chaque « face » on perd 1 €. On note X le gain total des deux lancers.
a) Détermine la loi de X.
b) Calcule E(X).
c) Calcule V(X) et σ(X).
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9
Une urne contient 10 boules : 2 rouges, 3 vertes et 5 bleues. On tire une boule au hasard. Une rouge fait gagner 8 €, une verte 3 €, une bleue fait perdre 4 €. On note X le gain.
a) Détermine la loi de X, puis calcule E(X).
b) Calcule V(X) et σ(X).
c) L'organisateur ajoute une mise m payée par le joueur. Quelle mise rend le jeu équitable ?
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10
Une variable aléatoire X vérifie E(X) = 4 et V(X) = 9.
a) Calcule E(X²).
b) On veut « centrer et réduire » X, c'est-à-dire trouver une transformation affine Y = aX + b (avec a > 0) telle que E(Y) = 0 et σ(Y) = 1. Détermine a et b.
c) Vérifie que V(Y) = 1.
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