Variables aléatoires réelles

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1
On lance un dé équilibré à 6 faces. Le joueur reçoit en euros le carré du numéro obtenu (par exemple 9 € pour un « 3 »). Pour jouer, il paie une mise m.
Avec une mise de 15 €, le jeu est-il favorable au joueur ou à l'organisateur ?
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a) G prend les valeurs $1^{2} = 1$ , $2^{2} = 4$ , $3^{2} = 9$ , $4^{2} = 16$ , $5^{2} = 25$ , $6^{2} = 36$ , chacune avec la probabilité $\frac{1}{6}$ .
$E(G) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) \times \frac{1}{6} = 91 \times \frac{1}{6} = \frac{91}{6} \approx 15{,}17$ €.
b) Le gain net est $X = G - m$ . Par linéarité, $E(X) = E(G) - m = \frac{91}{6} - m$ .
Le jeu est équitable si $E(X) = 0$ , soit $m = \frac{91}{6} \approx 15{,}17$ €.
c) Avec $m = 15$ : $E(X) = \frac{91}{6} - 15 = \frac{91}{6} - \frac{90}{6} = \frac{1}{6} \approx 0{,}17$ € et $\frac{1}{6} > 0$ .
L'espérance de gain du joueur est positive : le jeu est légèrement favorable au joueur (et donc défavorable à l'organisateur).
2
Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2, 3 et 4 avec, pour chaque entier k, $P(X=k) = k \times a$ (où a est un nombre positif fixé).
Calcule V(X) et σ(X).
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a) La somme des probabilités vaut 1 : $1a + 2a + 3a + 4a = 1$ , soit $10a = 1$ , donc $a = \frac{1}{10} = 0{,}1$ .
Loi : $P(X=1) = 0{,}1$ ; $P(X=2) = 0{,}2$ ; $P(X=3) = 0{,}3$ ; $P(X=4) = 0{,}4$ .
b) $E(X) = 1\times 0{,}1 + 2\times 0{,}2 + 3\times 0{,}3 + 4\times 0{,}4 = 0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}9 + 1{,}6 = 3$ .
c) $E(X^{2}) = 1^{2}\times 0{,}1 + 2^{2}\times 0{,}2 + 3^{2}\times 0{,}3 + 4^{2}\times 0{,}4 = 0{,}1 + 0{,}8 + 2{,}7 + 6{,}4 = 10$ .
$V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2} = 10 - 3^{2} = 10 - 9 = 1$ .
$\sigma (X) = \sqrt{1} = 1$ .
Donc $a = 0{,}1$ ; $E(X) = 3$ ; $V(X) = 1$ ; $\sigma (X) = 1$ .
3
Une variable aléatoire X vérifie $E(X) = 4$ et $V(X) = 9$ .
Vérifie que $V(Y) = 1$ .
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4
Deux jeux d'argent sont proposés.
Jeu A : le gain X vaut $+3$ € ou $-1$ €, chacun avec la probabilité 0,5.
Jeu B : le gain Y vaut $+10$ € avec la probabilité 0,2 et $-2$ € avec la probabilité 0,8.
Un joueur veut gagner en moyenne tout en limitant les risques. Que lui conseiller ?
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5
On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. À chaque « pile » on gagne 2 €, à chaque « face » on perd 1 €. On note X le gain total des deux lancers.
Calcule V(X) et σ(X).
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6
Un dé à 6 faces est truqué : la face 6 sort avec la probabilité 0,3, et les faces 1, 2, 3, 4, 5 sont équiprobables entre elles. On note X le numéro obtenu.
Calcule V(X) et σ(X).
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7
Une urne contient 10 boules : 2 rouges, 3 vertes et 5 bleues. On tire une boule au hasard. Une rouge fait gagner 8 €, une verte 3 €, une bleue fait perdre 4 €. On note X le gain.
L'organisateur ajoute une mise m payée par le joueur. Quelle mise rend le jeu équitable ?
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8
Une compagnie propose une assurance au prix de 50 € par an. En cas de sinistre, qui survient avec la probabilité 0,03, elle rembourse 1200 € à l'assuré.
À partir de quelle prime annuelle p le contrat rapporte-t-il en moyenne au moins 20 € à la compagnie ?
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9
Les notes X d'un contrôle (sur 20) ont pour espérance $E(X) = 11$ et pour écart type $\sigma (X) = 4$ .
Existe-t-il une transformation affine $Y = aX + b$ (avec $a > 0$ ) telle que $E(Y) = 10$ et $\sigma (Y) = 2$ ? Si oui, détermine a et b.
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10
On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on note X la somme des deux résultats.
Calcule V(X) puis σ(X).
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