Variables aléatoires réelles

🟡 Moyen

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1
Deux jeux ont un gain d'espérance nulle. Jeu A : X vaut $-1$ ou $+1$ , chacun avec la probabilité 0,5. Jeu B : Y vaut $-10$ ou $+10$ , chacun avec la probabilité 0,5. Calcule V(X) et V(Y), puis dis quel jeu est le plus « risqué ».
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Les deux jeux ont $E(X) = E(Y) = 0$ (loi symétrique autour de 0). La variance mesure alors la dispersion.
Étape 1 : jeu A. $E(X^{2}) = (-1)^{2}\times 0{,}5 + 1^{2}\times 0{,}5 = 0{,}5 + 0{,}5 = 1$ . $V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2} = 1 - 0 = 1$ .
Étape 2 : jeu B. $E(Y^{2}) = (-10)^{2}\times 0{,}5 + 10^{2}\times 0{,}5 = 50 + 50 = 100$ . $V(Y) = 100 - 0 = 100$ .
Étape 3 : comparaison. $V(Y) = 100$ est bien plus grand que $V(X) = 1$ , donc le jeu B est beaucoup plus risqué : ses gains sont très éloignés de la moyenne (σ(Y) = 10 contre $\sigma (X) = 1$ ).
2
On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat est pair, on gagne en euros le nombre de points obtenu ; s'il est impair, on perd 2 €. On note X le gain. Détermine la loi de X puis calcule E(X).
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Les faces paires sont 2, 4, 6 (gains $+2$ , $+4$ , $+6$ ) ; les faces impaires 1, 3, 5 donnent toutes $-2$ .
Étape 1 : loi. Chaque face a une probabilité $\frac{1}{6}$ .
$X = -2$ pour 1, 3 ou 5 : $P(X=-2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
$P(X=2) = \frac{1}{6}$ ; $P(X=4) = \frac{1}{6}$ ; $P(X=6) = \frac{1}{6}$ .
Je vérifie : $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1$ . C'est bon.
Étape 2 : espérance.
$E(X) = -2 \times \frac{1}{2} + (2 + 4 + 6) \times \frac{1}{6} = -1 + 12 \times \frac{1}{6} = -1 + 2 = 1$ .
Donc $E(X) = 1$ € : le jeu rapporte en moyenne 1 € par partie.
3
Une variable aléatoire X vérifie $E(X) = 3$ et $V(X) = 5$ . On pose $Y = -2X + 4$ . Calcule E(Y), V(Y) et σ(Y).
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4
Pour jouer, on mise 2 €. On tire au hasard une carte numérotée de 1 à 10. Si le numéro est supérieur ou égal à 8, on reçoit 5 € ; sinon on ne reçoit rien. On note X le gain net (ce qu'on reçoit moins la mise). Détermine la loi de X et calcule E(X).
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5
Une variable aléatoire X prend les valeurs a, 3 et $-4$ avec $P(X=a) = 0{,}4$ ; $P(X=3) = 0{,}4$ ; $P(X=-4) = 0{,}2$ . Détermine la valeur de a pour que le jeu associé soit équitable, c'est-à-dire $E(X) = 0$ .
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6
Une variable aléatoire X prend les valeurs $-2$ , 0, 1 et 3 avec $P(X=-2) = 0{,}1$ ; $P(X=0) = 0{,}4$ ; $P(X=1) = 0{,}3$ ; $P(X=3) = 0{,}2$ . Calcule E(X), V(X) et σ(X).
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7
Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2, 3 et 4. On sait que $P(X=1) = P(X=2) = 0{,}2$ et que $P(X=3)$ est le double de $P(X=4)$ . Détermine la loi complète, puis calcule E(X).
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8
On lance deux pièces équilibrées. On note X le nombre de « pile » obtenus. Détermine la loi de X, puis calcule E(X), V(X) et σ(X).
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9
Une loterie vend 1000 billets à 3 € l'un. Un billet gagne 500 €, dix billets gagnent 20 € chacun, les autres ne gagnent rien. On note X le gain net d'un joueur (gain reçu moins le prix du billet). Calcule E(X).
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10
Une roue de loterie donne 5 € avec la probabilité 0,5 ; 10 € avec la probabilité 0,3 ; 20 € avec la probabilité 0,2. On note X le gain. Calcule E(X), V(X) et σ(X).
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