Variables aléatoires réelles
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On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat est pair, on gagne en euros le nombre de points obtenu ; s'il est impair, on perd 2 €. On note X le gain. Détermine la loi de X puis calcule E(X).
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Les faces paires sont 2, 4, 6 (gains +2, +4, +6) ; les faces impaires 1, 3, 5 donnent toutes −2.
Étape 1 : loi. Chaque face a une probabilité .
X = −2 pour 1, 3 ou 5 : P(X=−2) = = .
P(X=2) = ; P(X=4) = ; P(X=6) = .
Vérification : + + + = + = 1. C'est bon.
Étape 2 : espérance.
E(X) = −2 × + (2 + 4 + 6) × = −1 + 12 × = −1 + 2 = 1.
Donc E(X) = 1 € : le jeu rapporte en moyenne 1 € par partie. - 2
Une variable aléatoire X prend les valeurs −2, 0, 1 et 3 avec P(X=−2) = 0,1 ; P(X=0) = 0,4 ; P(X=1) = 0,3 ; P(X=3) = 0,2. Calcule E(X), V(X) et σ(X).
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Étape 1 : espérance.
E(X) = −2×0,1 + 0×0,4 + 1×0,3 + 3×0,2 = −0,2 + 0 + 0,3 + 0,6 = 0,7.
Étape 2 : E(X²) (on élève les valeurs au carré).
E(X²) = 4×0,1 + 0×0,4 + 1×0,3 + 9×0,2 = 0,4 + 0 + 0,3 + 1,8 = 2,5.
Étape 3 : variance (König-Huygens).
V(X) = E(X²) − E(X)² = 2,5 − 0,7² = 2,5 − 0,49 = 2,01.
Étape 4 : écart type.
σ(X) = √2,01 ≈ 1,42.
Donc E(X) = 0,7 ; V(X) = 2,01 ; σ(X) ≈ 1,42. - 3
Une variable aléatoire X prend les valeurs 1, 2, 3 et 4. On sait que P(X=1) = P(X=2) = 0,2 et que P(X=3) est le double de P(X=4). Détermine la loi complète, puis calcule E(X).
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Pour jouer, on mise 2 €. On tire au hasard une carte numérotée de 1 à 10. Si le numéro est supérieur ou égal à 8, on reçoit 5 € ; sinon on ne reçoit rien. On note X le gain net (ce qu'on reçoit moins la mise). Détermine la loi de X et calcule E(X).
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Une variable aléatoire X vérifie E(X) = 3 et V(X) = 5. On pose Y = −2X + 4. Calcule E(Y), V(Y) et σ(Y).
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On lance deux pièces équilibrées. On note X le nombre de « pile » obtenus. Détermine la loi de X, puis calcule E(X), V(X) et σ(X).
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Une loterie vend 1000 billets à 3 € l'un. Un billet gagne 500 €, dix billets gagnent 20 € chacun, les autres ne gagnent rien. On note X le gain net d'un joueur (gain reçu moins le prix du billet). Calcule E(X).
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Une variable aléatoire X prend les valeurs a, 3 et −4 avec P(X=a) = 0,4 ; P(X=3) = 0,4 ; P(X=−4) = 0,2. Détermine la valeur de a pour que le jeu associé soit équitable, c'est-à-dire E(X) = 0.
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Deux jeux ont un gain d'espérance nulle. Jeu A : X vaut −1 ou +1, chacun avec la probabilité 0,5. Jeu B : Y vaut −10 ou +10, chacun avec la probabilité 0,5. Calcule V(X) et V(Y), puis dis quel jeu est le plus « risqué ».
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Une roue de loterie donne 5 € avec la probabilité 0,5 ; 10 € avec la probabilité 0,3 ; 20 € avec la probabilité 0,2. On note X le gain. Calcule E(X), V(X) et σ(X).
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