Arithmétique

🟠 Difficile

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1
On note $n$ un entier.
a) Exprime en fonction de $n$ le multiple de 6 qui suit immédiatement $6n$ .
b) Que vaut la différence entre deux multiples de 6 consécutifs ? Justifie.
Voir le corrigéoffert
a) Les multiples de 6 s'écrivent $6k$ avec $k$ entier.
Celui qui suit $6n$ correspond à $k = n + 1$ : c'est $6(n + 1) = 6n + 6$ .

b) La différence vaut $(6n + 6) - 6n = 6$ .
Elle ne dépend pas de $n$ : deux multiples de 6 consécutifs diffèrent toujours de 6.
C'est vrai plus généralement pour les multiples d'un entier $d$ quelconque, avec un écart $d$ .
2
Soit $n = 2k$ un nombre pair, avec $k$ entier.
a) Démontre que $n^{2}$ est un multiple de 4.
b) Le carré d'un nombre impair est-il pair ou impair ? Justifie.
Voir le corrigéoffert
a) $n^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2}$ .
Comme $k^{2}$ est un entier, $n^{2}$ s'écrit $4 \times (\text{entier})$ : c'est un multiple de 4.

b) Un nombre impair s'écrit $2k + 1$ .
Son carré vaut $(2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1$ .
C'est de la forme $2 \times (\text{entier}) + 1$ : le carré d'un impair est impair.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Soient deux entiers consécutifs $n$ et $n + 1$ .
a) Démontre que leur produit est toujours pair.
b) Que peut-on dire de leur somme ?
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4
On considère le nombre 180.
a) Donne sa décomposition en facteurs premiers et son nombre de diviseurs.
b) Vérifie en listant tous ses diviseurs.
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5
On s'intéresse aux multiples communs de 8 et 12.
a) Trouve les trois plus petits multiples communs strictement positifs.
b) Comment obtient-on tous les autres ?
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6
Un entier $n$ est divisible par 6.
a) Démontre qu'il est alors divisible par 2 et par 3.
b) La réciproque est-elle vraie ? Justifie avec un exemple.
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7
On considère la fraction $\frac{63}{84}$ .
a) Rends-la irréductible.
b) Écris trois fractions égales à celle-ci, de dénominateurs différents.
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8
On considère les nombres 48 et 72.
a) Donne la liste des diviseurs communs à 48 et 72.
b) Quel est le plus grand d'entre eux ? Rends la fraction $\frac{48}{72}$ irréductible.
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9
Rends la fraction $\frac{140}{196}$ irréductible.
a) Simplifie étape par étape, en indiquant chaque diviseur utilisé.
b) Vérifie ton résultat par les produits en croix.
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10
La somme de trois entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de 3 ?
a) Teste avec $17 + 18 + 19$ , puis avec $40 + 41 + 42$ .
b) Démontre-le dans le cas général.
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