Arithmétique

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1
a) Liste les diviseurs de 84 et ceux de 120.
b) Détermine leur PGCD (plus grand diviseur commun).
c) Utilise ce PGCD pour rendre la fraction $\frac{84}{120}$ irréductible.
Voir le corrigéoffert
a) Diviseurs de 84 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 28 ; 42 ; 84.
Diviseurs de 120 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 24 ; 30 ; 40 ; 60 ; 120.
b) Diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12. Le plus grand est 12, donc $PGCD(84 \,;\, 120) = 12$ .
c) On divise numérateur et dénominateur par 12 :
$84 \div 12 = 7$ et $120 \div 12 = 10$ , donc $\frac{84}{120} = \frac{7}{10}$ .
7 et 10 n'ont pas de diviseur commun : la fraction $\frac{7}{10}$ est irréductible.
2
On veut montrer que la somme des carrés de deux entiers consécutifs est impaire.
Montre que la somme des carrés de deux entiers consécutifs s'écrit $2K + 1$ .
Voir le corrigéoffert
a) Deux entiers consécutifs : n et $n + 1$ .
b) Somme de leurs carrés :
$n^{2} + (n + 1)^{2} = n^{2} + (n^{2} + 2n + 1) = 2n^{2} + 2n + 1$ .
On a utilisé $(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 \times n \times 1 + 1^{2} = n^{2} + 2n + 1$ .
c) On factorise par 2 les deux premiers termes :
$2n^{2} + 2n + 1 = 2(n^{2} + n) + 1$ .
En posant $K = n^{2} + n$ (un entier), la somme s'écrit $2K + 1$ : c'est un nombre impair. ∎
3
a) Démontre que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.
b) En déduire que $n^{2} + n$ est pair pour tout entier n.
c) Le nombre $n^{2} + n + 1$ peut-il être pair ? Justifie.
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4
Deux cordes mesurent 108 cm et 144 cm. On veut les couper en morceaux de même longueur entière, la plus grande possible, sans perte.
Combien de morceaux obtient-on en tout ?
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5
Un nombre est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs stricts (tous ses diviseurs sauf lui-même).
Le nombre 12 est-il parfait ? Est-il déficient (somme inférieure à lui) ou abondant (somme supérieure) ?
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6
a) Écris la forme générale d'un multiple de 3, puis celle d'un multiple de 3 augmenté de 1 et de 2.
b) Démontre que si un entier n n'est pas un multiple de 3, alors $n^{2}$ a pour reste 1 dans la division par 3.
c) En déduire que la somme des carrés de deux entiers non multiples de 3 n'est jamais un multiple de 3.
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7
Soit n un entier.
La somme de deux nombres impairs quelconques (pas forcément consécutifs) est-elle toujours un multiple de 4 ? Justifie.
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8
a) Combien y a-t-il de multiples de 7 compris entre 1 et 100 ?
b) Combien y a-t-il de multiples de 5 compris entre 1 et 100 ?
c) Combien d'entiers entre 1 et 100 sont multiples de 7 ou de 5 ?
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9
a) Démontre que le carré d'un nombre pair est un multiple de 4.
b) Démontre que le carré d'un nombre impair est de la forme $8m + 1$ (m entier).
c) En déduire qu'un carré parfait n'est jamais de la forme $8m + 3$ .
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10
Bonus — On donne les décompositions en facteurs premiers $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ et $120 = 2^{3} \times 3 \times 5$ .
Combien 120 possède-t-il de diviseurs au total ?
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11
a) Démontre que la somme de cinq entiers consécutifs est toujours un multiple de 5.
b) La somme de quatre entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de 4 ? Justifie.
c) Pour quelles valeurs de l'entier p la somme de p entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de p ?
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