Arithmétique

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1
Soit n un entier.
a) Exprime en fonction de n deux nombres impairs consécutifs.
b) Démontre que la somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4.
c) La somme de deux nombres impairs quelconques (pas forcément consécutifs) est-elle toujours un multiple de 4 ? Justifie.
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a) Un nombre impair s'écrit 2n + 1. L'impair suivant est deux crans plus loin : 2n + 3.
Deux impairs consécutifs sont donc 2n + 1 et 2n + 3.
b) Leur somme vaut :
(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1).
Comme n + 1 est un entier, cette somme est un multiple de 4. ∎
c) Non. Prenons deux impairs non consécutifs, par exemple 3 et 7 :
3 + 7 = 10, et 10 n'est pas un multiple de 4 (10 ÷ 4 = 2,5).
Ce contre-exemple suffit à montrer que la propriété n'est pas toujours vraie.
(En fait la somme de deux impairs est toujours paire, mais pas toujours multiple de 4.)
2
a) Démontre que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.
b) En déduire que n² + n est pair pour tout entier n.
c) Le nombre n² + n + 1 peut-il être pair ? Justifie.
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a) Considérons deux entiers consécutifs n et n + 1. On raisonne par disjonction de cas.
• Si n est pair, n = 2k : alors n(n + 1) = 2k(n + 1) est un multiple de 2, donc pair.
• Si n est impair, alors n + 1 est pair, n + 1 = 2k : alors n(n + 1) = n × 2k = 2(kn) est pair.
Dans les deux cas, le produit est pair. ∎
b) On remarque que n² + n = n(n + 1) : c'est le produit de deux entiers consécutifs.
D'après a), ce produit est pair, donc n² + n est pair.
c) n² + n + 1 = (n² + n) + 1 = (nombre pair) + 1 : c'est donc un nombre impair.
Il ne peut jamais être pair.
3
On veut montrer que la somme des carrés de deux entiers consécutifs est impaire.
a) Écris deux entiers consécutifs.
b) Développe la somme de leurs carrés.
c) Conclus en faisant apparaître la forme 2K + 1.
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4
a) Liste les diviseurs de 84 et ceux de 120.
b) Détermine leur PGCD (plus grand diviseur commun).
c) Utilise ce PGCD pour rendre la fraction $\frac{84}{120}$ irréductible.
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5
Un nombre est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs stricts (tous ses diviseurs sauf lui-même).
a) Donne les diviseurs stricts de 6 et vérifie que 6 est parfait.
b) Fais de même pour 28.
c) Le nombre 12 est-il parfait ? Est-il déficient (somme inférieure à lui) ou abondant (somme supérieure) ?
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6
a) Démontre que le carré d'un nombre pair est un multiple de 4.
b) Démontre que le carré d'un nombre impair est de la forme 8m + 1 (m entier).
c) En déduire qu'un carré parfait n'est jamais de la forme 8m + 3.
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7
a) Écris la forme générale d'un multiple de 3, puis celle d'un multiple de 3 augmenté de 1 et de 2.
b) Démontre que si un entier n n'est pas un multiple de 3, alors n² a pour reste 1 dans la division par 3.
c) En déduire que la somme des carrés de deux entiers non multiples de 3 n'est jamais un multiple de 3.
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8
Deux cordes mesurent 108 cm et 144 cm. On veut les couper en morceaux de même longueur entière, la plus grande possible, sans perte.
a) Explique pourquoi cette longueur est le PGCD de 108 et 144.
b) Trouve-la en listant les diviseurs communs.
c) Combien de morceaux obtient-on en tout ?
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9
a) Combien y a-t-il de multiples de 7 compris entre 1 et 100 ?
b) Combien y a-t-il de multiples de 5 compris entre 1 et 100 ?
c) Combien d'entiers entre 1 et 100 sont multiples de 7 ou de 5 ?
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10
a) Démontre que la somme de cinq entiers consécutifs est toujours un multiple de 5.
b) La somme de quatre entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de 4 ? Justifie.
c) Pour quelles valeurs de l'entier p la somme de p entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de p ?
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11
Bonus — On donne les décompositions en facteurs premiers 84 = 2² × 3 × 7 et 120 = 2³ × 3 × 5.
a) À partir de ces décompositions, retrouve le PGCD de 84 et 120.
b) Combien 120 possède-t-il de diviseurs au total ?
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