Équations et inéquations

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1
On considère l'équation-produit $(2x - 7)(-3x + 6) = 0$ .
a) Résous-la.
b) Détermine le signe du produit à l'aide d'un tableau, puis résous l'inéquation $> 0$ .
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a) Un produit est nul si l'un des facteurs est nul.
$2x - 7 = 0$ donne $x = 3{,}5$ ; $-3x + 6 = 0$ donne $x = 2$ .
$S = \{2 \,;\, 3{,}5\}$ .

b) $2x - 7$ est négatif avant 3,5 et positif après.
$-3x + 6$ est positif avant 2 et négatif après (coefficient négatif).
Sur $]-\infty \,;\, 2[$ : $2x - 7 < 0$ et $-3x + 6 > 0$ , donc le produit est négatif.
Sur $]2 \,;\, 3{,}5[$ : $2x - 7 < 0$ et $-3x + 6 < 0$ , donc le produit est positif.
Sur $]3{,}5 \,;\, +\infty[$ : $2x - 7 > 0$ et $-3x + 6 < 0$ , donc le produit est négatif.
$S = ]2 \,;\, 3{,}5[$ .
Contrôle avec $x = 3$ : $(6 - 7)(-9 + 6) = (-1) \times (-3) = 3 > 0$ ✓.
2
Résous l'inéquation $-5x + 8 \ge 2x - 6$ .
a) Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
b) Vérifie ta réponse avec deux valeurs, l'une dans S, l'autre hors de S.
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a) $-5x - 2x \ge -6 - 8$ , donc $-7x \ge -14$ .
On divise par $-7$ : diviser par un nombre négatif inverse l'inégalité.
$x \le 2$ , donc $S = ]-\infty \,;\, 2]$ .

b) Pour $x = 0$ (dans S) : $8 \ge -6$ ✓.
Pour $x = 5$ (hors de S) : $-25 + 8 = -17$ et $10 - 6 = 4$ , or $-17 \ge 4$ est faux ✓.
La borne 2 est incluse car l'inégalité est large : pour $x = 2$ , les deux membres valent $-2$ .
L'erreur classique serait d'écrire $x \ge 2$ en oubliant d'inverser le sens.
Un seul test numérique, comme celui fait ci-dessus, suffit à la détecter.
3
On considère l'équation quotient $\frac{3x - 12}{x + 5} = 0$ .
a) Donne la condition d'existence, puis résous.
b) Dresse le tableau de signes de ce quotient.
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4
Résous l'équation $3x^{2} = 75$ .
a) Donne les solutions.
b) Résous ensuite l'inéquation $3x^{2} \le 75$ .
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5
Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 4 cm, et son périmètre mesure 44 cm.
a) Mets le problème en équation et résous-la.
b) Calcule l'aire du rectangle.
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6
Dresse le tableau de signes de $(x - 4)(x + 2)$ .
a) Donne le signe sur chaque intervalle.
b) Résous l'inéquation $(x - 4)(x + 2) \le 0$ .
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7
On considère le quotient $\frac{x - 3}{x + 1}$ .
a) Dresse son tableau de signes.
b) Résous l'inéquation $\frac{x - 3}{x + 1} \ge 0$ .
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8
Résous l'équation $5(2x - 3) - 4 = 3(x + 2)$ .
a) Détaille la résolution.
b) Vérifie la solution dans l'équation de départ.
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9
Une entreprise vend un objet 15 € pièce ; ses coûts sont de 6 € par objet plus 450 € de charges fixes.
a) Écris l'inéquation traduisant « l'entreprise est bénéficiaire ».
b) Résous-la et conclus.
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10
On considère l'inéquation $x^{2} - 6x > 0$ .
a) Factorise le membre de gauche.
b) Résous l'inéquation à l'aide d'un tableau de signes.
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