Équations et inéquations

🟠 Difficile

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1
Résous l'équation $5(2x - 3) - 4 = 3(x + 2)$ .
a) Détaille la résolution.
b) Vérifie la solution dans l'équation de départ.
Voir le corrigéoffert
a) À gauche : $10x - 15 - 4 = 10x - 19$ .
À droite : $3x + 6$ .
$10x - 3x = 6 + 19$ , donc $7x = 25$ et $x = \frac{25}{7}$ .

b) À gauche : $5 \times \left(\frac{50}{7} - 3\right) - 4 = 5 \times \frac{29}{7} - 4 = \frac{145}{7} - \frac{28}{7} = \frac{117}{7}$ .
À droite : $\frac{25}{7} + 2 = \frac{25}{7} + \frac{14}{7} = \frac{39}{7}$ .
Puis $3 \times \frac{39}{7} = \frac{117}{7}$ .
Les deux membres valent bien la même chose : la solution est confirmée.
Une solution fractionnaire n'a rien d'anormal : toutes les équations ne tombent pas juste.
2
Résous l'équation $3x^{2} = 75$ .
a) Donne les solutions.
b) Résous ensuite l'inéquation $3x^{2} \le 75$ .
Voir le corrigéoffert
a) $x^{2} = 25$ , donc $x = 5$ ou $x = -5$ .
$S = \{-5 \,;\, 5\}$ .

b) $x^{2} \le 25$ signifie que $x$ est à une distance d'au plus 5 de 0.
$S = [-5 \,;\, 5]$ .
On peut aussi factoriser : $3x^{2} - 75 = 3(x - 5)(x + 5)$ .
Les racines sont $-5$ et 5, et le produit est négatif entre elles.
Les bornes sont incluses car l'inégalité est large : pour $x = 5$ , on a bien $75 \le 75$ .
Attention à ne pas écrire seulement $x \le 5$ : cela oublierait la contrainte du côté négatif.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Résous l'inéquation $-5x + 8 \ge 2x - 6$ .
a) Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
b) Vérifie ta réponse avec deux valeurs, l'une dans S, l'autre hors de S.
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4
Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 4 cm, et son périmètre mesure 44 cm.
a) Mets le problème en équation et résous-la.
b) Calcule l'aire du rectangle.
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5
On considère le quotient $\frac{x - 3}{x + 1}$ .
a) Dresse son tableau de signes.
b) Résous l'inéquation $\frac{x - 3}{x + 1} \ge 0$ .
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6
Dresse le tableau de signes de $(x - 4)(x + 2)$ .
a) Donne le signe sur chaque intervalle.
b) Résous l'inéquation $(x - 4)(x + 2) \le 0$ .
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7
Une entreprise vend un objet 15 € pièce ; ses coûts sont de 6 € par objet plus 450 € de charges fixes.
a) Écris l'inéquation traduisant « l'entreprise est bénéficiaire ».
b) Résous-la et conclus.
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8
On considère l'équation quotient $\frac{3x - 12}{x + 5} = 0$ .
a) Donne la condition d'existence, puis résous.
b) Dresse le tableau de signes de ce quotient.
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9
On considère l'équation-produit $(2x - 7)(-3x + 6) = 0$ .
a) Résous-la.
b) Détermine le signe du produit à l'aide d'un tableau, puis résous l'inéquation $> 0$ .
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10
On considère l'inéquation $x^{2} - 6x > 0$ .
a) Factorise le membre de gauche.
b) Résous l'inéquation à l'aide d'un tableau de signes.
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