Équations et inéquations

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Résous l'inéquation $\frac{(2x - 1)}{3}$ − $\frac{(x + 2)}{4}$ ≤ 1 et donne l'ensemble des solutions.
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Étape 1 : on supprime les dénominateurs. Le dénominateur commun de 3 et 4 est 12. On multiplie chaque terme par 12 (12 est positif, donc le sens de l'inégalité ne change pas).
12 × $\frac{(2x - 1)}{3}$ = 4(2x − 1) ; 12 × $\frac{(x + 2)}{4}$ = 3(x + 2) ; 12 × 1 = 12.
L'inéquation devient : 4(2x − 1) − 3(x + 2) ≤ 12.
Étape 2 : on développe.
8x − 4 − 3x − 6 ≤ 12, soit 5x − 10 ≤ 12.
Étape 3 : on ajoute 10 aux deux membres.
5x ≤ 22.
Étape 4 : on divise par 5 (positif, sens conservé).
x ≤ $\frac{22}{5}$ , soit x ≤ 4,4.
S = ]−∞ ; $\frac{22}{5}$ ].
2
Aujourd'hui, un père a 42 ans et son fils 12 ans.
Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il exactement le double de l'âge du fils ?
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a) Dans x années, chacun aura vieilli de x ans.
Âge du père : $42 + x$ . Âge du fils : $12 + x$ .

b) On traduit « l'âge du père est le double de celui du fils » par une équation :
$42 + x = 2 \times (12 + x)$ .
On développe le membre de droite : $42 + x = 24 + 2x$ .
On soustrait x aux deux membres : $42 = 24 + x$ .
On soustrait 24 : $x = 18$ .
C'est donc dans 18 ans.

c) Dans 18 ans, le père aura $42 + 18 = 60\,\text{ans}$ et le fils $12 + 18 = 30\,\text{ans}$ . Or $60 = 2 \times 30$ : l'âge du père est bien le double de celui du fils.
3
On veut résoudre l'inéquation (x − 1)² ≤ (x + 3)².
Résous l'inéquation et donne S.
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4
On pose A(x) = (2x − 3)(x + 1).
Résous l'inéquation $A(x) \le 0$ .
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5
On pose Q(x) = $\frac{(x + 1)(x - 4)}{(x - 2)}$ .
Résous l'inéquation Q(x) ≤ 0.
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6
Deux entreprises louent le même matériel.
− Entreprise A : 30 € de forfait, puis 4 € par objet loué.
− Entreprise B : 12 € par objet loué, sans forfait.
On note x le nombre d'objets loués (x entier positif).
À partir de combien d'objets l'entreprise A devient-elle moins chère que B ?
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7
On pose P(x) = (x − 1)(x + 2)(2x − 6).
Résous l'inéquation P(x) > 0.
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8
Résous les trois équations suivantes.
a) $(x - 3)^{2} = 16$
b) $(2x + 1)^{2} = 9$
c) $(x + 5)^{2} = 0$
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9
Résous l'équation $\frac{(x + 3)}{(x - 1)} = \frac{(x - 2)}{(x + 4)}$ .
Vérifie que la solution convient.
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10
On pose B(x) = $\frac{(3x - 6)}{(-x + 4)}$ .
Résous l'inéquation B(x) ≥ 0.
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