Géométrie repérée et droites

🟠 Difficile

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1
On considère les points $A(-2 \,;\, 1)$ et $B(4 \,;\, 4)$ .
a) Détermine l'équation réduite de la droite (AB).
b) Le point $C(8 \,;\, 6)$ appartient-il à cette droite ?
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a) Coefficient directeur : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 1}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = 0{,}5$ .
L'équation est de la forme $y = 0{,}5x + p$ .
Je remplace par les coordonnées de A : $1 = 0{,}5 \times (-2) + p$ , donc $1 = -1 + p$ et $p = 2$ .
Équation réduite : $y = 0{,}5x + 2$ .

b) Je remplace $x$ par 8 : $0{,}5 \times 8 + 2 = 4 + 2 = 6$ .
On trouve bien $y = 6$ , l'ordonnée de C.
Donc C appartient à la droite (AB).
2
On donne les droites $d_1 : y = 3x - 4$ et $d_2 : y = -x + 8$ .
a) Détermine les coordonnées de leur point d'intersection.
b) La droite $d_3 : y = 3x + 1$ coupe-t-elle $d_1$ ? Justifie.
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a) Au point d'intersection, les deux ordonnées sont égales : $3x - 4 = -x + 8$ .
Je regroupe : $4x = 12$ , donc $x = 3$ .
Je calcule $y$ avec l'une des équations : $y = 3 \times 3 - 4 = 5$ .
Le point d'intersection est $(3 \,;\, 5)$ .
Vérification avec $d_2$ : $-3 + 8 = 5$ ✓.

b) $d_1$ et $d_3$ ont le même coefficient directeur, 3, mais des ordonnées à l'origine différentes ( $-4$ et 1).
Elles sont donc parallèles et distinctes : elles ne se coupent pas.
3
On considère $A(1 \,;\, 2)$ , $B(5 \,;\, 4)$ et $C(3 \,;\, 8)$ .
a) Calcule les coordonnées du milieu I de [AB].
b) Calcule la longueur AB, sous forme exacte puis approchée au dixième.
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4
Une droite $d$ passe par $A(0 \,;\, 5)$ et a pour coefficient directeur $-2$ .
a) Donne son équation réduite.
b) Détermine les coordonnées du point de $d$ dont l'abscisse vaut 4, puis celui dont l'ordonnée vaut 1.
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5
On considère $A(-1 \,;\, 2)$ , $B(3 \,;\, 0)$ et $C(5 \,;\, 4)$ .
a) Calcule les longueurs AB, BC et AC (valeurs exactes).
b) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifie.
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6
Une entreprise loue des vélos : 5 € de frais fixes, puis 2 € par heure.
a) Exprime le prix $y$ payé en fonction de la durée $x$ (en heures), et reconnais la nature de cette relation.
b) Un concurrent facture 3 € par heure sans frais fixes. À partir de combien d'heures le premier loueur est-il plus avantageux ?
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7
On considère la droite $d : y = \frac{2}{3}x - 1$ .
a) Donne les coordonnées de deux points de $d$ à coordonnées entières.
b) Détermine l'équation de la droite parallèle à $d$ passant par $B(6 \,;\, 1)$ .
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8
On donne $A(2 \,;\, -1)$ , $B(6 \,;\, 1)$ et $C(0 \,;\, 3)$ .
a) Détermine l'équation réduite de (AB).
b) Le point C appartient-il à (AB) ? Si non, les trois points forment-ils un triangle ?
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9
On considère les points $A(1 \,;\, -3)$ et $B(5 \,;\, 5)$ .
a) Détermine l'équation réduite de la droite $(AB)$ .
b) Le point $C(-1 \,;\, -7)$ appartient-il à cette droite ?
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10
On donne les droites $d_1 : y = -2x + 7$ et $d_2 : y = x - 5$ .
a) Détermine les coordonnées de leur point d'intersection.
b) La droite $d_3 : y = -2x + 1$ coupe-t-elle $d_1$ ? Justifie.
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