Géométrie repérée et droites
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On considère A(1 ; 2), B(5 ; 4) et C(3 ; 6) dans un repère orthonormé.
a) Calcule les longueurs AB, AC et BC.
b) Quelle est la nature du triangle ABC ?
c) Soit I le milieu de [BC]. Calcule les coordonnées de I, puis la longueur AI (médiane issue de A).✅ Voir le corrigéoffert
a) On utilise AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
AB = √((5 − 1)² + (4 − 2)²) = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20.
AC = √((3 − 1)² + (6 − 2)²) = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20.
BC = √((3 − 5)² + (6 − 4)²) = √((−2)² + 2²) = √(4 + 4) = √8.
b) On compare : AB = AC = √20, alors que BC = √8.
Deux côtés sont égaux (AB = AC), donc le triangle ABC est isocèle en A.
c) Milieu de [BC] : xI = = = 4 et yI = = = 5, donc I(4 ; 5).
AI = √((4 − 1)² + (5 − 2)²) = √(3² + 3²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.
La médiane issue de A mesure 3√2, soit environ 4,24. - 2
ABCD est un parallélogramme avec A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(6 ; 5).
a) Détermine les coordonnées du point D.
b) Vérifie ta réponse en calculant les milieux des diagonales [AC] et [BD].
c) Ce parallélogramme est-il un losange ? Justifie.✅ Voir le corrigéoffert
a) Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AB] et [DC] sont parallèles et de même longueur, ce qui se traduit par l'égalité vectorielle AB = DC.
AB (4 − 1 ; 2 − 1) = (3 ; 1).
DC (xC − xD ; yC − yD) = (6 − xD ; 5 − yD).
On écrit donc 6 − xD = 3 et 5 − yD = 1, ce qui donne xD = 3 et yD = 4.
Ainsi D(3 ; 4).
b) Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : les milieux de [AC] et [BD] doivent être confondus.
Milieu de [AC] : ( ; ) = ( ; 3) = (3,5 ; 3).
Milieu de [BD] : ( ; ) = ( ; 3) = (3,5 ; 3).
Les deux milieux sont identiques : la réponse est confirmée.
c) Un losange a ses quatre côtés de même longueur : on compare deux côtés consécutifs.
AB = √(3² + 1²) = √(9 + 1) = √10.
AD = √((3 − 1)² + (4 − 1)²) = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13.
Comme AB = √10 ≠ √13 = AD, les côtés ne sont pas tous égaux : ce n'est pas un losange. - 3
On donne A(−1 ; −3) et B(2 ; 3).
a) Détermine l'équation réduite de la droite (AB).
b) Le point C(4 ; 7) appartient-il à la droite (AB) ?
c) Détermine le réel k pour que le point D(k ; 5) appartienne à la droite (AB).🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
On considère d1 : y = x + 2, d2 : 2x − 4y + 1 = 0 et d3 : y = −x + 8.
a) Montre que d1 et d2 sont parallèles.
b) Détermine les coordonnées du point d'intersection K de d1 et d3.
c) Calcule la distance OK, où O est l'origine du repère.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
Soit le quadrilatère ABCD avec A(−2 ; 1), B(2 ; 3), C(4 ; −1) et D(0 ; −3). On note P, Q, R, S les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA].
a) Calcule les coordonnées de P, Q, R et S.
b) Calcule les vecteurs PQ et SR.
c) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère PQRS ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
On donne A(1 ; 2) et B(3 ; 8) dans un repère orthonormé.
a) Détermine l'équation réduite de la droite (AB).
b) Détermine les coordonnées du point M de l'axe des abscisses (donc de la forme M(x ; 0)) tel que MA = MB.
c) Calcule alors la valeur exacte de MA.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On considère A(2 ; −1) et B(5 ; 3).
a) Calcule les coordonnées du vecteur AB.
b) Détermine les coordonnées du point C tel que AC = 2 AB.
c) Montre que B est le milieu de [AC].🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
On considère la droite d d'équation 3x − 4y + 12 = 0.
a) Détermine les coordonnées des points E et F où d coupe respectivement l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.
b) Donne l'équation réduite de d.
c) Calcule l'aire du triangle OEF, où O est l'origine.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
Soit d1 la droite d'équation 2x − 3y + 1 = 0, et d2 la droite passant par A(0 ; 0) et B(6 ; 4).
a) Détermine un vecteur directeur de d1.
b) Détermine un vecteur directeur de d2 et montre que d1 et d2 sont parallèles.
c) Les droites d1 et d2 sont-elles confondues ou strictement parallèles ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
On considère A(−1 ; 4), B(3 ; 2) et C(5 ; 6) dans un repère orthonormé.
a) Calcule AB, BC et AC, et montre que le triangle ABC est isocèle.
b) Soit I le milieu de [AC]. Calcule les coordonnées de I, puis la longueur BI.
c) En admettant que, dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la hauteur, calcule l'aire du triangle ABC.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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