Géométrie repérée et droites

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1
Soit d1 la droite d'équation $2x - 3y + 1 = 0$ , et d2 la droite passant par $A(0 \,;\, 0)$ et $B(6 \,;\, 4)$ .
Les droites d1 et d2 sont-elles confondues ou strictement parallèles ?
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a) Pour une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ , un vecteur directeur est $(-b \,;\, a)$ . Ici $a = 2$ et $b = -3$ , donc un vecteur directeur de d1 est $(-(-3) \,;\, 2) = (3 \,;\, 2)$ .
b) Un vecteur directeur de d2 est $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 6 - 0 \\ 4 - 0 \end{pmatrix} = (6 \,;\, 4)$ . Or $(6 \,;\, 4) = 2 \times (3 \,;\, 2)$ : les deux vecteurs directeurs sont colinéaires, donc d1 et d2 sont parallèles.
c) On teste si un point de d2, par exemple $A(0 \,;\, 0)$ , appartient à d1 : $2 \times 0 - 3 \times 0 + 1 = 1$ , qui n'est pas égal à 0.
Donc A n'est pas sur d1 : les droites ne sont pas confondues. Elles sont strictement parallèles.
2
On considère $A(2 \,;\, -1)$ et $B(5 \,;\, 3)$ .
Montre que B est le milieu de [AC].
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a) $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 5 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = (3 \,;\, 4)$ .
b) $AC = 2 AB$ signifie que le vecteur $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $2 \times (3 \,;\, 4) = (6 \,;\, 8)$ .
Or $\overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} x_C - 2 \\ y_C - (-1) \end{pmatrix} = (x_C - 2 \,;\, y_C + 1)$ .
Donc $x_C - 2 = 6$ et $y_C + 1 = 8$ , ce qui donne $x_C = 8$ et $y_C = 7$ . Ainsi $C(8 \,;\, 7)$ .
c) Milieu de [AC] : $(\frac{2 + 8}{2} \,;\, \frac{-1 + 7}{2}) = (\frac{10}{2} \,;\, \frac{6}{2}) = (5 \,;\, 3)$ .
Ces coordonnées sont exactement celles de $B(5 \,;\, 3)$ , donc B est bien le milieu de [AC].
(C'est logique : puisque $AC = 2 AB$ , le point B est à mi-chemin entre A et C.)
3
On donne $A(-1 \,;\, -3)$ et $B(2 \,;\, 3)$ .
Détermine le réel k pour que le point $D(k \,;\, 5)$ appartienne à la droite (AB).
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4
On considère la droite d d'équation $3x - 4y + 12 = 0$ .
Calcule l'aire du triangle OEF, où O est l'origine.
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5
On considère d1 : $y = \frac{1}{2}x + 2$ , d2 : $2x - 4y + 1 = 0$ et d3 : $y = -x + 8$ .
Calcule la distance OK, où O est l'origine du repère.
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6
Soit le quadrilatère ABCD avec $A(-2 \,;\, 1)$ , $B(2 \,;\, 3)$ , $C(4 \,;\, -1)$ et $D(0 \,;\, -3)$ . On note P, Q, R, S les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA].
Quelle est la nature du quadrilatère PQRS ? Justifie.
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7
On considère $A(1 \,;\, 2)$ , $B(5 \,;\, 4)$ et $C(3 \,;\, 6)$ dans un repère orthonormé.
Soit I le milieu de [BC]. Calcule les coordonnées de I, puis la longueur AI (médiane issue de A).
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8
On donne $A(1 \,;\, 2)$ et $B(3 \,;\, 8)$ dans un repère orthonormé.
Calcule alors la valeur exacte de MA.
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9
On considère $A(-1 \,;\, 4)$ , $B(3 \,;\, 2)$ et $C(5 \,;\, 6)$ dans un repère orthonormé.
En admettant que, dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la hauteur, calcule l'aire du triangle ABC.
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10
ABCD est un parallélogramme avec $A(1 \,;\, 1)$ , $B(4 \,;\, 2)$ et $C(6 \,;\, 5)$ .
Ce parallélogramme est-il un losange ? Justifie.
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