Variations et extrémums d’une fonction

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -(x + 3)^{2} + 12$.
a) Montre que $f(x) \le 12$ pour tout réel $x$.
b) Donne le maximum de $f$, l'abscisse où il est atteint, et le sens de variation.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2(x + 1)^{2} - 8$.
a) Détermine le minimum de $f$ et l'abscisse correspondante.
b) Résous l'équation $f(x) = 0$.

Soit $f$ définie sur $[-1 \,;\, 6]$ par $f(x) = (x - 2)^{2} - 5$.
a) Donne le minimum de $f$ et l'abscisse où il est atteint.
b) Calcule $f(-1)$ et $f(6)$, puis donne le maximum de $f$ sur cet intervalle.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{2} - 8$.
a) Dresse le tableau de variations de $f$.
b) Précise son minimum, l'abscisse où il est atteint, et résous $f(x) = 0$.

Soit $f$ définie sur $[0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x} + 1$.
a) Donne le sens de variation de $f$ et son minimum.
b) Encadre $f(x)$ pour $x \in [4 \,;\, 25]$.

La fonction inverse est décroissante sur $]0 \,;\, +\infty[$.
a) Compare $\frac{1}{0{,}4}$ et $\frac{1}{0{,}25}$ sans les calculer.
b) Vérifie par le calcul, puis encadre $\frac{1}{x}$ pour $x \in [2 \,;\, 5]$.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 5)^{2} + 3$.
a) Explique pourquoi $f(x) \ge 3$ pour tout réel $x$.
b) Déduis-en le minimum de $f$ et l'abscisse où il est atteint, puis dresse le tableau de variations.

Sans poser les carrés, compare $(-9)^{2}$ et $(-6)^{2}$.
a) Justifie soigneusement par le sens de variation.
b) Vérifie par le calcul, puis compare de même $(-9)^{2}$ et $7^{2}$.

Une balle est lancée : sa hauteur, en mètres, après $t$ secondes est $h(t) = -5t^{2} + 20t$.
a) Montre que $h(t) = -5(t - 2)^{2} + 20$.
b) Quelle est la hauteur maximale atteinte, et à quel instant ? Quand la balle retombe-t-elle au sol ?

Un rectangle a un périmètre de 28 cm. On note $x$ la longueur d'un de ses côtés.
a) Exprime l'aire $A(x)$ en fonction de $x$, et précise l'intervalle où $x$ peut varier.
b) Montre que $A(x) = -(x - 7)^{2} + 49$, puis donne l'aire maximale.