Variations et extrémums d’une fonction

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1
On veut démontrer, en revenant à la définition, que la fonction f définie sur $[0 \,;\, +\infty [$ par $f(x) = x^{2}$ est strictement croissante. Soient a et b deux nombres tels que $0 \le a < b$ .
Montre que f est strictement croissante sur $[0 \,;\, +\infty [$ .
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a) $f(b) - f(a) = b^{2} - a^{2}$ . On reconnaît une différence de deux carrés : $b^{2} - a^{2} = (b - a)(b + a)$ .
b) Étude des facteurs :
comme $a < b$ , on a $b - a > 0$ (premier facteur strictement positif) ;
comme $0 \le a < b$ , les deux nombres sont positifs et non tous deux nuls, donc $a + b > 0$ (deuxième facteur strictement positif).
Le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif : $f(b) - f(a) > 0$ .
c) On a montré que pour $0 \le a < b$ , $f(b) - f(a) > 0$ , c'est-à-dire $f(a) < f(b)$ .
Donc, dès que $a < b$ , les images sont dans le même ordre : f est strictement croissante sur $[0 \,;\, +\infty [$ .
2
Un ballon est lancé verticalement. Sa hauteur (en mètres) au bout de t secondes est $h(t) = -5t^{2} + 20t$ , pour $t \ge 0$ .
Dresse le tableau de variations de h sur $[0 \,;\, 4]$ .
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a) On développe : $-5(t - 2)^{2} + 20 = -5(t^{2} - 4t + 4) + 20 = -5t^{2} + 20t - 20 + 20 = -5t^{2} + 20t$ .
C'est bien h(t) : l'égalité est démontrée.
b) Comme $-5(t - 2)^{2} \le 0$ , on a $h(t) \le 20$ , avec égalité quand $(t - 2)^{2} = 0$ , soit $t = 2$ .
Le ballon atteint sa hauteur maximale de 20 m à l'instant $t = 2\,\text{s}$ .
c) On résout $h(t) = 0$ : $-5t^{2} + 20t = 0$ , soit $-5t(t - 4) = 0$ .
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : $t = 0$ ou $t - 4 = 0$ , donc $t = 0$ ou $t = 4$ .
$t = 0$ correspond au lancer ; le ballon retombe au sol à $t = 4\,\text{s}$ .
d) Sur $[0 \,;\, 4]$ , h est croissante de 0 (en $t = 0$ ) jusqu'à 20 (en $t = 2$ ), puis décroissante de 20 jusqu'à 0 (en $t = 4$ ).
3
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = -x^{2} + 8x - 12$ .
Sans calculer f(1) ni f(6), dis lequel des deux est le plus grand. Justifie.
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4
On cherche deux nombres réels dont la somme vaut 12 et dont la somme des carrés est la plus petite possible. On note x l'un des deux nombres.
Détermine les deux nombres qui rendent S minimale, et donne le minimum.
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5
Un agriculteur clôture un enclos rectangulaire puis le sépare en deux parties par une clôture parallèle à l'un des côtés. Il utilise en tout 90 m de clôture. On note x (en m) la longueur commune des trois segments parallèles (les deux côtés extérieurs et la séparation centrale).
Détermine la valeur de x qui maximise l'aire et donne l'aire maximale.
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6
Une entreprise vend des tee-shirts. Si elle fixe le prix à x euros, une étude prévoit qu'elle en vendra $(200 - 2x)$ . La recette (en euros) est $R(x) = x(200 - 2x)$ .
Pour quelles valeurs de x l'étude a-t-elle un sens (nombre de tee-shirts positif) ?
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7
Un éleveur construit un enclos rectangulaire le long d'un mur droit. Le mur forme l'un des grands côtés : ce côté-là n'a pas besoin de clôture. L'éleveur dispose de 60 m de clôture pour les trois autres côtés. On note x (en m) la longueur de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.
Précise entre quelles valeurs x peut varier.
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8
On admet que la fonction carré est décroissante sur $]-\infty \,;\, 0]$ , que la fonction inverse est décroissante sur $]0 \,;\, +\infty [$ et que la fonction racine carrée est croissante sur $[0 \,;\, +\infty [$ .
Range dans l'ordre croissant $\sqrt{12}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{20}$ et $\sqrt{8}$ .
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9
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{2} - 10x + 21$ .
À l'aide de la forme canonique, détermine l'ensemble des x pour lesquels $f(x) < 0$ .
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10
Une fonction f est définie sur $[-6 \,;\, 6]$ . Sa courbe monte de $x = -6$ (où f vaut $-4$ ) jusqu'à $x = -2$ (où f vaut 5), descend de $x = -2$ jusqu'à $x = 3$ (où f vaut $-3$ ), puis monte de $x = 3$ jusqu'à $x = 6$ (où f vaut 2).
Selon les valeurs de k, combien l'équation $f(x) = k$ a-t-elle de solutions ?
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