Variations et extrémums d’une fonction

Un éleveur construit un enclos rectangulaire le long d'un mur droit. Le mur forme l'un des grands côtés : ce côté-là n'a pas besoin de clôture. L'éleveur dispose de 60 m de clôture pour les trois autres côtés. On note x (en m) la longueur de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.
a) Exprime la longueur du côté parallèle au mur en fonction de x, puis l'aire A(x) de l'enclos.
b) Montre que A(x) = −2(x − 15)² + 450.
c) Détermine les dimensions de l'enclos d'aire maximale et calcule cette aire.
d) Précise entre quelles valeurs x peut varier.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = −x² + 8x − 12.
a) Montre que f(x) = −(x − 4)² + 4.
b) Dresse le tableau de variations de f et donne son maximum.
c) Sans calculer f(1) ni f(6), compare-les à l'aide de la forme du a), puis vérifie par le calcul.

Une entreprise vend des tee-shirts. Si elle fixe le prix à x euros, une étude prévoit qu'elle en vendra (200 − 2x). La recette (en euros) est R(x) = x(200 − 2x).
a) Développe R(x).
b) Montre que R(x) = −2(x − 50)² + 5000.
c) Quel prix maximise la recette, et quelle est alors la recette ?
d) Pour quelles valeurs de x l'étude a-t-elle un sens (nombre de tee-shirts positif) ?

On cherche deux nombres réels dont la somme vaut 12 et dont la somme des carrés est la plus petite possible. On note x l'un des deux nombres.
a) Exprime l'autre nombre, puis la somme des carrés S(x) en fonction de x.
b) Montre que S(x) = 2(x − 6)² + 72.
c) Détermine les deux nombres qui rendent S minimale et donne ce minimum.

Une fonction f est définie sur [−6 ; 6]. Sa courbe monte de x = −6 (où f vaut −4) jusqu'à x = −2 (où f vaut 5), descend de x = −2 jusqu'à x = 3 (où f vaut −3), puis monte de x = 3 jusqu'à x = 6 (où f vaut 2).
a) Dresse le tableau de variations de f.
b) Donne le maximum et le minimum de f sur [−6 ; 6], avec leurs abscisses.
c) Selon les valeurs de k, discute le nombre de solutions de l'équation f(x) = k.

On admet que la fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0], que la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[ et que la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[.
a) Range dans l'ordre croissant (−3)², (−7)² et (−5)².
b) Range dans l'ordre croissant $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{8}$ et $\frac{1}{5}$.
c) Range dans l'ordre croissant √12, √3, √20 et √8.

On veut démontrer, en revenant à la définition, que la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = x² est strictement croissante. Soient a et b deux nombres tels que 0 ≤ a < b.
a) Factorise la différence f(b) − f(a).
b) Détermine le signe de chaque facteur, puis celui de f(b) − f(a).
c) Conclus sur le sens de variation de f sur [0 ; +∞[.

Un ballon est lancé verticalement. Sa hauteur (en mètres) au bout de t secondes est h(t) = −5t² + 20t, pour t ≥ 0.
a) Montre que h(t) = −5(t − 2)² + 20.
b) À quel instant le ballon atteint-il sa hauteur maximale, et quelle est cette hauteur ?
c) À quel instant le ballon retombe-t-il au sol (h = 0) ?
d) Dresse le tableau de variations de h sur [0 ; 4].

Un agriculteur clôture un enclos rectangulaire puis le sépare en deux parties par une clôture parallèle à l'un des côtés. Il utilise en tout 90 m de clôture. On note x (en m) la longueur commune des trois segments parallèles (les deux côtés extérieurs et la séparation centrale).
a) Exprime la longueur des deux autres côtés en fonction de x, puis l'aire totale A(x).
b) Mets A(x) sous la forme a(x − α)² + β.
c) Détermine la valeur de x qui maximise l'aire et donne l'aire maximale.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x² − 10x + 21.
a) Montre que f(x) = (x − 5)² − 4.
b) Dresse le tableau de variations de f et donne son minimum.
c) Résous l'équation f(x) = 0.
d) À l'aide de la forme canonique, détermine l'ensemble des x pour lesquels f(x) < 0.