Variations et extrémums d’une fonction

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1
En utilisant uniquement le sens de variation de la fonction carré (sans poser les carrés), compare $(-8)^{2}$ et $(-5)^{2}$ . Justifie soigneusement, puis vérifie par le calcul.
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Les deux nombres $-8$ et $-5$ sont négatifs : ils appartiennent à l'intervalle $]-\infty \,;\, 0]$ .
Sur cet intervalle, la fonction carré est décroissante : quand x augmente, $x^{2}$ diminue (l'ordre est inversé).
On compare $-8$ et $-5$ : on $a -8 < -5$ .
Comme la fonction est décroissante, l'ordre des images est inversé : $(-8)^{2} > (-5)^{2}$ .
Vérification : $(-8)^{2} = 64$ et $(-5)^{2} = 25$ . On a bien $64 > 25$ .
2
La fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]0 \,;\, +\infty [$ . Utilise cette propriété pour comparer $\frac{1}{0{,}2}$ et $\frac{1}{0{,}25}$ sans les calculer, puis vérifie.
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Les deux nombres 0,2 et 0,25 sont strictement positifs : ils sont dans $]0 \,;\, +\infty [$ .
Sur cet intervalle, la fonction inverse est décroissante : l'ordre des images est inversé.
On compare 0,2 et 0,25 : on a $0{,}2 < 0{,}25$ .
Comme la fonction est décroissante, on obtient $\frac{1}{0{,}2} > \frac{1}{0{,}25}$ .
Vérifions : $\frac{1}{0{,}2} = 5$ et $\frac{1}{0{,}25} = 4$ . On a bien $5 > 4$ .
3
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{2} - 6$ .
a) Dresse le tableau de variations de f sur ℝ.
b) Précise son minimum et l'abscisse où il est atteint.
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4
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = -(x - 2)^{2} + 9$ .
a) Montre que $f(x) \le 9$ pour tout x réel.
b) Donne le maximum de f et l'abscisse où il est atteint.
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5
Une fonction f est strictement croissante sur $[1 \,;\, 6]$ . On sait que $f(2) = -3$ et $f(5) = 4$ . Sans autre information, range dans l'ordre croissant f(2), f(3), f(4), f(5), puis encadre f(4).
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6
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = (x - 4)^{2} + 1$ .
a) Explique pourquoi $f(x) \ge 1$ pour tout x réel.
b) Déduis-en le minimum de f et l'abscisse où il est atteint.
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7
La fonction racine carrée est croissante sur $[0 \,;\, +\infty [$ .
a) Range dans l'ordre croissant $\sqrt{30}$ , $\sqrt{28}$ et $\sqrt{35}$ .
b) Sans calculatrice, encadre $\sqrt{30}$ par deux entiers consécutifs.
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8
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = 3 - 2x$ .
a) Détermine le sens de variation de f.
b) Dresse son tableau de variations.
c) Déduis-en, sans calcul supplémentaire, le signe de $f(10) - f(4)$ .
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9
Un rectangle a un périmètre de 24 cm. On note x (en cm) la longueur d'un de ses côtés.
a) Exprime l'aire A(x) du rectangle en fonction de x.
b) Montre que $A(x) = -(x - 6)^{2} + 36$ .
c) Quelle valeur de x rend l'aire maximale, et quelle est cette aire ?
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10
La courbe d'une fonction f définie sur $[-5 \,;\, 5]$ descend de $x = -5$ (où f vaut 4) jusqu'à $x = -1$ (où f vaut $-2$ ), puis monte de $x = -1$ jusqu'à $x = 5$ (où f vaut 6).
a) Dresse le tableau de variations de f.
b) Donne le minimum de f sur $[-5 \,;\, 5]$ .
c) Combien l'équation $f(x) = 0$ admet-elle de solutions ?
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