Variations et extrémums d’une fonction

En utilisant uniquement le sens de variation de la fonction carré (sans poser les carrés), compare (−8)² et (−5)². Justifie soigneusement, puis vérifie par le calcul.

La fonction inverse f(x) = $\frac{1}{x}$ est décroissante sur ]0 ; +∞[. Utilise cette propriété pour comparer $\frac{1}{0{,}2}$ et $\frac{1}{0{,}25}$ sans les calculer, puis vérifie.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x − 4)² + 1.
a) Explique pourquoi f(x) ≥ 1 pour tout x réel.
b) Déduis-en le minimum de f et l'abscisse où il est atteint.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = −(x − 2)² + 9.
a) Montre que f(x) ≤ 9 pour tout x réel.
b) Donne le maximum de f et l'abscisse où il est atteint.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x² − 6.
a) Dresse le tableau de variations de f sur ℝ.
b) Précise son minimum et l'abscisse où il est atteint.

Un rectangle a un périmètre de 24 cm. On note x (en cm) la longueur d'un de ses côtés.
a) Exprime l'aire A(x) du rectangle en fonction de x.
b) Montre que A(x) = −(x − 6)² + 36.
c) Quelle valeur de x rend l'aire maximale, et quelle est cette aire ?

La courbe d'une fonction f définie sur [−5 ; 5] descend de x = −5 (où f vaut 4) jusqu'à x = −1 (où f vaut −2), puis monte de x = −1 jusqu'à x = 5 (où f vaut 6).
a) Dresse le tableau de variations de f.
b) Donne le minimum de f sur [−5 ; 5].
c) Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions ?

Une fonction f est strictement croissante sur [1 ; 6]. On sait que f(2) = −3 et f(5) = 4. Sans autre information, range dans l'ordre croissant f(2), f(3), f(4), f(5), puis encadre f(4).

La fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[.
a) Range dans l'ordre croissant √30, √28 et √35.
b) Sans calculatrice, encadre √30 par deux entiers consécutifs.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = 3 − 2x.
a) Détermine le sens de variation de f.
b) Dresse son tableau de variations.
c) Déduis-en, sans calcul supplémentaire, le signe de f(10) − f(4).