Arithmétique

🟠 Difficile

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1
Un fleuriste dispose de 72 roses et 120 tulipes. Il veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs.
a) Quel est le plus grand nombre de bouquets possible ?
b) Combien de roses et de tulipes chaque bouquet contiendra-t-il ?
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a) Le nombre de bouquets doit diviser 72 et 120 : c'est un diviseur commun.
Le plus grand est le PGCD de 72 et 120.
Algorithme d'Euclide : $120 = 72 \times 1 + 48$ , puis $72 = 48 \times 1 + 24$ , puis $48 = 24 \times 2 + 0$ .
Le dernier reste non nul est 24 : $\text{PGCD}(72 ; 120) = 24$ .
Il peut donc composer 24 bouquets.

b) Roses par bouquet : $72 \div 24 = 3$ .
Tulipes par bouquet : $120 \div 24 = 5$ .
Chaque bouquet contient 3 roses et 5 tulipes, et toutes les fleurs sont utilisées.
Contrôle : $24 \times 3 = 72$ roses et $24 \times 5 = 120$ tulipes ✓.
Remarque : 3 et 5 sont premiers entre eux, ce qui confirme qu'on ne peut pas faire mieux.
S'il voulait des bouquets plus garnis, il devrait en faire moins : 12 bouquets de 6 roses et 10 tulipes, par exemple.
2
On veut carreler entièrement un rectangle de 156 cm sur 108 cm avec des carreaux carrés identiques, les plus grands possibles, sans découpe.
a) Quel est le côté d'un carreau ?
b) Combien de carreaux faudra-t-il ?
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a) Le côté du carreau doit diviser 156 et 108 : c'est un diviseur commun.
Le plus grand est le PGCD.
$156 = 108 \times 1 + 48$ , puis $108 = 48 \times 2 + 12$ , puis $48 = 12 \times 4 + 0$ .
Donc $\text{PGCD}(156 ; 108) = 12$ : les carreaux mesurent 12 cm de côté.

b) En longueur : $156 \div 12 = 13$ carreaux.
En largeur : $108 \div 12 = 9$ carreaux.
Au total : $13 \times 9 = 117$ carreaux.
Contrôle par les aires : $156 \times 108 = 16\,848\,\text{cm}^{2}$ pour le rectangle.
Et $117 \times 12 \times 12 = 117 \times 144 = 16\,848\,\text{cm}^{2}$ pour les carreaux ✓.
Avec des carreaux de 6 cm, il en faudrait quatre fois plus, soit 468.
Le PGCD donne bien le plus grand carreau possible sans découpe.
3
On considère la fraction $\frac{234}{312}$ .
a) Calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur.
b) Rends la fraction irréductible et vérifie qu'elle l'est bien.
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4
On considère les nombres 84 et 55.
a) Décompose chacun en produit de facteurs premiers.
b) Sont-ils premiers entre eux ? Justifie.
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5
On considère le nombre 720.
a) Décompose-le en produit de facteurs premiers.
b) Combien a-t-il de diviseurs ? Cite les six plus petits.
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6
Trouve tous les chiffres $a$ possibles pour que le nombre $3a7$ (les chiffres 3, puis $a$ , puis 7) soit divisible par 3.
a) Écris la condition portant sur la somme des chiffres.
b) Donne toutes les valeurs de $a$ qui conviennent.
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7
Deux cyclistes tournent sur une piste. Le premier boucle un tour en 24 secondes, le second en 36 secondes. Ils partent ensemble.
a) Au bout de combien de secondes se retrouvent-ils ensemble à la ligne de départ ?
b) Combien de tours chacun aura-t-il faits ?
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8
On considère le nombre 391.
a) Est-il premier ? Justifie en indiquant jusqu'où tu testes.
b) Si non, décompose-le en produit de facteurs premiers.
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9
Une pâtissière a 96 macarons et 144 chocolats. Elle veut préparer des coffrets identiques en utilisant tout.
a) Quel est le nombre maximal de coffrets ?
b) Que contient chaque coffret ?
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10
On considère la fraction $\frac{195}{273}$ .
a) Décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers.
b) Rends la fraction irréductible.
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