Arithmétique

🟠 Difficile

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1
On considère la fraction $\frac{195}{273}$ .
a) Décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers.
b) Rends la fraction irréductible.
Voir le corrigéoffert
a) $195 = 5 \times 39 = 3 \times 5 \times 13$ .
$273 = 3 \times 91 = 3 \times 7 \times 13$ .

b) Les facteurs communs sont 3 et 13, soit $3 \times 13 = 39$ .
$\frac{195}{273} = \frac{39 \times 5}{39 \times 7} = \frac{5}{7}$ .
5 et 7 sont premiers entre eux : la fraction est irréductible.
Contrôle : $\frac{5}{7} \approx 0{,}714$ et $195 \div 273 \approx 0{,}714$ .
Le PGCD de 195 et 273 vaut donc 39.
L'algorithme d'Euclide le confirme : $273 = 195 + 78$ , puis $195 = 78 \times 2 + 39$ , puis $78 = 39 \times 2 + 0$ .
2
Trouve tous les chiffres $a$ possibles pour que le nombre $3a7$ (les chiffres 3, puis $a$ , puis 7) soit divisible par 3.
a) Écris la condition portant sur la somme des chiffres.
b) Donne toutes les valeurs de $a$ qui conviennent.
Voir le corrigéoffert
a) Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres l'est.
Ici la somme vaut $3 + a + 7 = a + 10$ .
Il faut donc que $a + 10$ soit un multiple de 3.

b) $a$ est un chiffre, donc compris entre 0 et 9 : $a + 10$ varie de 10 à 19.
Les multiples de 3 dans cet intervalle sont 12, 15 et 18.
Cela donne $a = 2$ , $a = 5$ et $a = 8$ .
Vérifions : $327 = 3 \times 109$ , $357 = 3 \times 119$ et $387 = 3 \times 129$ .
Les trois valeurs $a = 2$ , $a = 5$ et $a = 8$ se suivent de 3 en 3 : ce n'est pas un hasard.
Ajouter 3 à $a$ ajoute 3 à la somme des chiffres, ce qui conserve la divisibilité.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On considère le nombre 391.
a) Est-il premier ? Justifie en indiquant jusqu'où tu testes.
b) Si non, décompose-le en produit de facteurs premiers.
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
4
On considère le nombre 720.
a) Décompose-le en produit de facteurs premiers.
b) Combien a-t-il de diviseurs ? Cite les six plus petits.
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5
On considère les nombres 84 et 55.
a) Décompose chacun en produit de facteurs premiers.
b) Sont-ils premiers entre eux ? Justifie.
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6
Deux cyclistes tournent sur une piste. Le premier boucle un tour en 24 secondes, le second en 36 secondes. Ils partent ensemble.
a) Au bout de combien de secondes se retrouvent-ils ensemble à la ligne de départ ?
b) Combien de tours chacun aura-t-il faits ?
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7
Une pâtissière a 96 macarons et 144 chocolats. Elle veut préparer des coffrets identiques en utilisant tout.
a) Quel est le nombre maximal de coffrets ?
b) Que contient chaque coffret ?
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8
On considère la fraction $\frac{234}{312}$ .
a) Calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur.
b) Rends la fraction irréductible et vérifie qu'elle l'est bien.
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9
On veut carreler entièrement un rectangle de 156 cm sur 108 cm avec des carreaux carrés identiques, les plus grands possibles, sans découpe.
a) Quel est le côté d'un carreau ?
b) Combien de carreaux faudra-t-il ?
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10
Un fleuriste dispose de 72 roses et 120 tulipes. Il veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs.
a) Quel est le plus grand nombre de bouquets possible ?
b) Combien de roses et de tulipes chaque bouquet contiendra-t-il ?
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