Arithmétique

L'algorithme d'Euclide consiste à remplacer le plus grand nombre par le reste de sa division par le plus petit, jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Étape 1 : 126 = 90 × 1 + 36 (reste 36).
Étape 2 : on continue avec 90 et 36 : 90 = 36 × 2 + 18 (reste 18).
Étape 3 : on continue avec 36 et 18 : 36 = 18 × 2 + 0 (reste 0).
Le dernier reste non nul est 18.
PGCD(126 ; 90) = 18.
Vérification : 126 = 18 × 7 et 90 = 18 × 5, donc 18 divise bien les deux nombres.

Étape 1 : on décompose.
108 = 2 × 54 = 2 × 2 × 27 = 2² × 3³ (car 27 = 3³).
144 = 2 × 72 = 2 × 2 × 36 = 2² × 36 = 2² × 2² × 9 = 2⁴ × 3².
Étape 2 : PGCD = facteurs communs avec le plus petit exposant.
Facteur 2 : plus petit exposant = 2 → 2².
Facteur 3 : plus petit exposant = 2 → 3².
PGCD = 2² × 3² = 4 × 9 = 36.
Étape 3 : on divise en haut et en bas par 36.
108 ÷ 36 = 3 et 144 ÷ 36 = 4.
Donc $\frac{108}{144}$ = $\frac{3}{4}$.
Vérification : 3 et 4 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.