Arithmétique

a) Décompositions : $21 = 3 \times 7$ et $44 = 2^{2} \times 11$. Aucun facteur premier n'est commun aux deux nombres, donc $PGCD(21 \,;\, 44) = 1$ : ils sont premiers entre eux.
b) $14 = 2 \times 7$ et $15 = 3 \times 5$. Ils n'ont aucun facteur commun, donc $PGCD(14 \,;\, 15) = 1$ : ils sont premiers entre eux.
Explication générale : si un même nombre d divisait deux entiers consécutifs n et $n + 1$, il diviserait aussi leur différence $(n + 1) - n = 1$. Or le seul diviseur de 1 est 1. Donc $d = 1$, et deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux.
c) $15 = 3 \times 5$ et $25 = 5^{2}$. Ils ont le facteur commun 5, donc $PGCD(15 \,;\, 25) = 5$. Comme ce PGCD est différent de 1, les nombres 15 et 25 ne sont PAS premiers entre eux.

a) Puisque N est divisible par $4 = 2^{2}$, il est aussi divisible par 2. Puisqu'il est divisible par $9 = 3^{2}$, il est aussi divisible par 3. Comme il est divisible par 4 et par 3, il l'est par 12 ; comme il est divisible par 5 et par 2, il l'est par 10 ; par 5 et 9, il l'est par 45 ; par 4 et 5 par 20, etc.
Exemples de diviseurs certains : 2 ; 3 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 36 ; 45. (Quatre suffisaient.)
b) Pour trouver le plus petit N, on réunit les facteurs premiers nécessaires avec les exposants minimaux imposés.
Divisible par $4 = 2^{2}$ → il faut au moins $2^{2}$.
Divisible par $9 = 3^{2}$ → il faut au moins $3^{2}$.
Divisible par 5 → il faut au moins 5.
Le plus petit N est donc $N = 2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180$.
Vérifions : $180 \div 4 = 45$, $180 \div 9 = 20$, $180 \div 5 = 36$, les trois divisions tombent juste.
c) Décomposition de N : $180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$. Nombre de diviseurs $= (2+1) \times (2+1) \times (1+1) = 3 \times 3 \times 2 = 18$.
Ce plus petit N possède donc 18 diviseurs.