Arithmétique
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On considère A = 2³ × 3² × 5 et B = 2² × 3 × 5² × 7.
a) Calcule les nombres A et B.
b) Détermine le PGCD de A et B à partir de leurs décompositions.
c) Les nombres A et B sont-ils premiers entre eux ? Justifie.✅ Voir le corrigéoffert
a) Calcul de A : 2³ = 8, 3² = 9, donc A = 8 × 9 × 5 = 72 × 5 = 360.
Calcul de B : 2² = 4, 5² = 25, donc B = 4 × 3 × 25 × 7 = 12 × 25 × 7 = 300 × 7 = 2 100.
b) Le PGCD se lit en prenant chaque facteur premier COMMUN avec son plus petit exposant.
Facteur 2 : exposant 3 dans A, 2 dans B → on garde 2².
Facteur 3 : exposant 2 dans A, 1 dans B → on garde 3.
Facteur 5 : exposant 1 dans A, 2 dans B → on garde 5.
Facteur 7 : présent seulement dans B → on ne le garde pas.
PGCD = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60.
c) Le PGCD vaut 60, qui est différent de 1. Les nombres A et B partagent donc des facteurs communs (2, 3 et 5) : ils ne sont PAS premiers entre eux.
Vérification : 360 = 60 × 6 et 2 100 = 60 × 35, donc 60 divise bien A et B. - 2
On considère le nombre N = 2 520.
a) Décompose N en produit de facteurs premiers.
b) Combien N possède-t-il de diviseurs au total ?
c) N est-il divisible par 45 ? Justifie sans poser la division.✅ Voir le corrigéoffert
a) On divise par les premiers croissants.
2 520 = 2 × 1 260 = 2 × 2 × 630 = 2 × 2 × 2 × 315, donc 2³ pour l'instant (315 est impair).
315 : 3 + 1 + 5 = 9 → 315 = 3 × 105 = 3 × 3 × 35 = 3² × 35.
35 = 5 × 7.
Donc N = 2³ × 3² × 5 × 7.
Vérification : 8 × 9 = 72, 72 × 5 = 360, 360 × 7 = 2 520. Correct.
b) Pour compter les diviseurs, on ajoute 1 à chaque exposant, puis on multiplie.
Exposants : 3, 2, 1, 1 → (3+1) × (2+1) × (1+1) × (1+1) = 4 × 3 × 2 × 2 = 48 diviseurs.
c) On décompose 45 = 3² × 5. Pour que N soit divisible par 45, N doit contenir au moins 3² et au moins 5 dans sa décomposition.
Or N = 2³ × 3² × 5 × 7 contient bien 3² et 5. Donc N est divisible par 45.
Vérification : 2 520 ÷ 45 = 56, division exacte. - 3
Un jardinier dispose de 156 tulipes, 234 jonquilles et 312 crocus.
a) Il veut composer des bouquets identiques utilisant toutes les fleurs. Quel est le plus grand nombre de bouquets possible ?
b) Quelle est la composition d'un bouquet ?
c) Vérifie que toutes les fleurs sont utilisées.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
On étudie la fraction .
a) Décompose 1 155 et 1 386 en produits de facteurs premiers.
b) Déduis-en le PGCD de 1 155 et 1 386.
c) Rends la fraction irréductible.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
a) Montre que 21 et 44 sont premiers entre eux.
b) On considère deux nombres entiers consécutifs, par exemple 14 et 15. Montre qu'ils sont premiers entre eux et explique pourquoi c'est toujours le cas pour deux entiers consécutifs.
c) Les nombres 15 et 25 sont-ils premiers entre eux ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
a) Détermine le PGCD de 1 071 et 1 029 avec l'algorithme d'Euclide.
b) Rends la fraction irréductible.
c) Vérifie que la fraction obtenue est bien irréductible.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
Une salle rectangulaire mesure 5,04 m de long sur 3,60 m de large. On veut la recouvrir entièrement de dalles carrées identiques, les plus grandes possibles, sans découpe.
a) Explique pourquoi on peut travailler avec 504 cm et 360 cm.
b) Détermine le côté d'une dalle.
c) Combien de dalles faudra-t-il ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
On considère le nombre N = 3 375.
a) Décompose N en produit de facteurs premiers.
b) N est-il un carré parfait ? Justifie.
c) Par quel plus petit entier strictement positif faut-il multiplier N pour obtenir un carré parfait ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On étudie les nombres 675 et 1 050.
a) Décompose chacun en produit de facteurs premiers.
b) Détermine leur PGCD.
c) Rends la fraction irréductible.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Un entier N strictement positif est divisible à la fois par 4, par 9 et par 5.
a) Cite au moins quatre autres nombres qui divisent forcément N.
b) Quel est le plus petit entier N possible ?
c) Combien de diviseurs ce plus petit N possède-t-il ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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