Les homothéties

🟠 Difficile

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1
Une homothétie de rapport $k = -1$ est appliquée à une figure.
a) Que deviennent les longueurs ?
b) Quelle transformation déjà connue reconnaît-on ?
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a) Les longueurs sont multipliées par $|k| = 1$ : elles ne changent pas.

b) Le rapport étant négatif, chaque point passe de l'autre côté du centre, à la même distance.
C'est exactement la symétrie de centre O.
Une homothétie de rapport $-1$ est donc une symétrie centrale.
2
Une homothétie transforme un segment de 4 cm en un segment de 26 cm.
a) Quelle est la valeur de $|k|$ ?
b) Par combien l'aire de la figure est-elle multipliée ?
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a) $|k| = \frac{26}{4} = 6{,}5$ .

b) L'aire est multipliée par $k^{2} = 6{,}5^{2} = 42{,}25$ .
Une longueur multipliée par 6,5 fait donc une aire plus de 42 fois plus grande.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un rectangle mesure 5 cm sur 8 cm. On lui applique une homothétie de rapport $k = 3$ .
a) Donne les dimensions du rectangle image.
b) Calcule son aire de deux façons différentes.
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4
Une homothétie de centre O a pour rapport $k = \frac{3}{4}$ . On a $OM = 20\,\text{cm}$ .
a) Calcule OM'.
b) S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ? M et M' sont-ils du même côté de O ?
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5
Sur une figure, O, A et A' sont alignés, A et A' se trouvant de part et d'autre de O. On mesure $OA = 4\,\text{cm}$ et $OA' = 10\,\text{cm}$ .
a) Détermine le rapport $k$ de l'homothétie de centre O qui envoie A sur A'.
b) Où se trouverait l'image d'un point B tel que $OB = 6\,\text{cm}$ ?
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6
Le périmètre d'un triangle est de 18 cm et son aire de $14\,\text{cm}^{2}$ . On lui applique une homothétie de rapport $k = 4$ .
a) Quel est le périmètre de l'image ?
b) Quelle est son aire ?
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7
Par une homothétie, l'aire d'une figure est multipliée par 25.
a) Par combien les longueurs sont-elles multipliées ?
b) Une longueur de 6 cm devient combien ? Et une aire de $4\,\text{cm}^{2}$ ?
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8
Un triangle a une aire de $15\,\text{cm}^{2}$ . Après une homothétie de centre O, son image a une aire de $135\,\text{cm}^{2}$ .
a) Par combien l'aire a-t-elle été multipliée ?
b) Détermine $|k|$ .
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9
Une homothétie de centre O a pour rapport $k = -3$ . On a $OM = 4\,\text{cm}$ et un segment $[AB]$ de la figure mesure 5 cm.
a) Calcule OM' et précise de quel côté de O se trouve M'.
b) Calcule la longueur de l'image $[A'B']$ .
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10
Deux figures sont semblables : la seconde est l'image de la première par une homothétie. Un côté de 12 cm devient 9 cm, et l'aire de la première vaut $48\,\text{cm}^{2}$ .
a) Détermine $|k|$ .
b) Calcule l'aire de la seconde figure.
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