Les homothéties

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1
Par une homothétie, l'aire d'une figure est multipliée par 6,25.
Une autre homothétie multiplie l'aire d'une figure par 2. Son rapport $|k|$ est-il un nombre décimal simple ? Explique alors comment se transforme une longueur.
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a) $k^{2} = 6{,}25$ , donc $|k| = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ .
b) $12 \times 2{,}5 = 30\,\text{cm}$ .
c) Ici $k^{2} = 2$ , donc $|k| = \sqrt{2}$ , qui n'est pas un nombre décimal : c'est un nombre irrationnel, environ 1,414. Une longueur L devient alors $L \times \sqrt{2}$ ; par exemple 5 cm devient $5\sqrt{2} \approx 7{,}07\,\text{cm}$ .
Réponses : $|k| = 2{,}5$ ; 30 cm ; $|k| = \sqrt{2}$ , $\text{longueur} \times \sqrt{2}$ .
2
Une homothétie de centre O a pour rapport $k = -\frac{3}{2}$ . Un point M vérifie $OM = 6\,\text{cm}$ , et une figure attachée à M a une aire de $4\,\text{cm}^{2}$ .
Cette homothétie agrandit-elle ou réduit-elle les longueurs ? Justifie.
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a) $|k| = \frac{3}{2} = 1{,}5$ , donc $OM' = 1{,}5 \times 6 = 9\,\text{cm}$ . k étant négatif, M' est de l'autre côté de O.
b) L'aire est × $k^{2}$ . $k^{2} = (-\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} = 2{,}25$ . Aire image $= 4 \times 2{,}25 = 9\,\text{cm}^{2}$ .
c) $|k| = 1{,}5 > 1$ , donc les longueurs sont agrandies (multipliées par 1,5).
Réponses : $OM' = 9\,\text{cm}$ (autre côté) ; $9\,\text{cm}^{2}$ ; agrandissement.
3
Une homothétie de centre O a pour rapport $k = -4$ . On considère un segment [MN] de 3 cm et une figure d'aire $7\,\text{cm}^{2}$ .
Le rapport devient $k = 4$ au lieu de $k = -4$ : quelles longueurs et quelles aires changent, et lesquelles restent identiques ?
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4
Sur une figure de centre O, on a $OA = 5\,\text{cm}$ et $OB = 8\,\text{cm}$ . Une homothétie de centre O envoie A sur A' avec $OA' = 15\,\text{cm}$ (A et A' du même côté de O).
Un segment [AB], ne passant pas par O, mesure 6 cm : combien mesure [A'B'] ?
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5
Une figure F a une aire de $8\,\text{cm}^{2}$ . Après une homothétie de centre O et de rapport k, son image a une aire de $72\,\text{cm}^{2}$ .
L'aire seule permet-elle de connaître le signe de k ? Explique.
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6
Un triangle rectangle a pour côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. On lui applique une homothétie de centre O et de rapport $k = -2$ .
L'image est-elle encore un triangle rectangle ? Justifie.
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7
Un rectangle mesure 8 cm de long et 5 cm de large. On lui applique une homothétie de rapport $k = 2{,}5$ .
Vérifie que le rapport des deux aires est bien égal à $k^{2}$ .
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8
Une homothétie réduit une figure : l'aire passe de $200\,\text{cm}^{2}$ à $8\,\text{cm}^{2}$ .
S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ? Justifie avec |k|.
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9
On agrandit une photo rectangulaire de 15 cm sur 10 cm (aire $150\,\text{cm}^{2}$ ) par une homothétie. Après agrandissement, le plus grand côté mesure 24 cm.
Calcule l'aire de la photo agrandie.
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10
Un triangle ABC a une aire de $20\,\text{cm}^{2}$ et un périmètre de 24 cm ; l'un de ses angles mesure $50^{\circ}$ . On applique une homothétie de centre O et de rapport $k = -3$ , qui transforme ABC en A'B'C'.
Où se situe A'B'C' par rapport à ABC ?
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