Les homothéties

Un triangle ABC a une aire de 20 cm² et un périmètre de 24 cm ; l'un de ses angles mesure 50°. On applique une homothétie de centre O et de rapport k = −3, qui transforme ABC en A'B'C'.
a) Calcule l'aire de A'B'C'.
b) Calcule le périmètre de A'B'C'.
c) Que vaut l'angle image de l'angle de 50° ? Justifie.
d) Où se situe A'B'C' par rapport à ABC ?

Une figure F a une aire de 8 cm². Après une homothétie de centre O et de rapport k, son image a une aire de 72 cm².
a) Détermine les valeurs possibles de k.
b) Sur F, une longueur mesure 5 cm : que mesure son image ?
c) L'aire seule permet-elle de connaître le signe de k ? Explique.

Une homothétie de centre O a pour rapport k = −$\frac{3}{2}$. Un point M vérifie OM = 6 cm, et une figure attachée à M a une aire de 4 cm².
a) Calcule OM' et précise le côté.
b) Calcule l'aire de la figure image.
c) Cette homothétie agrandit-elle ou réduit-elle les longueurs ? Justifie.

Un rectangle mesure 8 cm de long et 5 cm de large. On lui applique une homothétie de rapport k = 2,5.
a) Donne les dimensions du rectangle image.
b) Calcule l'aire de départ, puis l'aire de l'image de deux manières.
c) Vérifie que le rapport des deux aires est bien égal à k².

On agrandit une photo rectangulaire de 15 cm sur 10 cm (aire 150 cm²) par une homothétie. Après agrandissement, le plus grand côté mesure 24 cm.
a) Détermine le rapport k de l'agrandissement.
b) Calcule l'autre dimension de la photo agrandie.
c) Calcule l'aire de la photo agrandie et vérifie ton résultat.

Sur une figure de centre O, on a OA = 5 cm et OB = 8 cm. Une homothétie de centre O envoie A sur A' avec OA' = 15 cm (A et A' du même côté de O).
a) Détermine le rapport k.
b) Calcule OB'.
c) Un segment [AB], ne passant pas par O, mesure 6 cm : combien mesure [A'B'] ?

Une homothétie de centre O a pour rapport k = −4. On considère un segment [MN] de 3 cm et une figure d'aire 7 cm².
a) Calcule la longueur de l'image [M'N'].
b) Calcule l'aire de l'image.
c) Compare cette homothétie avec celle de rapport k = 4 : qu'est-ce qui change, qu'est-ce qui reste identique ?

Une homothétie réduit une figure : l'aire passe de 200 cm² à 8 cm².
a) Détermine |k|.
b) Une longueur de 30 cm devient combien ?
c) S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ? Justifie avec |k|.

Un triangle rectangle a pour côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm. On lui applique une homothétie de centre O et de rapport k = −2.
a) Donne les longueurs des côtés de l'image.
b) Calcule l'aire du triangle de départ, puis celle de l'image.
c) L'image est-elle encore un triangle rectangle ? Justifie.

Par une homothétie, l'aire d'une figure est multipliée par 6,25.
a) Détermine |k|.
b) Un côté de 12 cm devient combien ?
c) Sur une autre figure, une homothétie multiplie l'aire par 2. Le rapport |k| est-il un nombre décimal simple ? Explique ce que devient alors une longueur.