Les racines carrées

🟠 Difficile

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1
On pose $A = \sqrt{75} + \sqrt{27}$ .
a) Écris A sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible.
b) Donne une valeur approchée de A au dixième.
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a) Je cherche le plus grand carré parfait dans chaque nombre.
$75 = 25 \times 3$ , donc $\sqrt{75} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .
$27 = 9 \times 3$ , donc $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ .
Les deux ont la même racine $\sqrt{3}$ : je peux les additionner.
$A = 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ .

b) $\sqrt{3} \approx 1{,}732$ , donc $A \approx 8 \times 1{,}732 = 13{,}856$ .
Au dixième : $A \approx 13{,}9$ .
2
On pose $B = \sqrt{50} - \sqrt{18}$ et $C = \sqrt{8}$ .
a) Écris B et C sous la forme $a\sqrt{b}$ .
b) Que remarques-tu ?
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a) $50 = 25 \times 2$ , donc $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ .
$18 = 9 \times 2$ , donc $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ .
$B = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ .
$8 = 4 \times 2$ , donc $C = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .

b) $B$ et $C$ sont égaux : $\sqrt{50} - \sqrt{18} = \sqrt{8}$ .
Attention, cela ne veut pas dire que $\sqrt{50 - 18} = \sqrt{8}$ par hasard heureux : ici $50 - 18 = 32$ et $\sqrt{32} = 4\sqrt{2} \neq 2\sqrt{2}$ .
On ne soustrait jamais sous la racine.
3
Un triangle est rectangle en A, avec $AB = 5$ cm et $AC = 7$ cm.
a) Calcule la longueur exacte de BC, sous la forme $\sqrt{n}$ .
b) Donne une valeur approchée au millimètre, et encadre BC entre deux entiers consécutifs.
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4
a) Calcule $\sqrt{12} \times \sqrt{27}$ .
b) Calcule $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$ .
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5
On pose $D = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$ .
a) Développe D à l'aide d'une identité remarquable.
b) Le nombre D est-il un entier ? Justifie.
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6
On pose $E = 3\sqrt{2}$ et $F = \sqrt{17}$ .
a) Écris E sous la forme $\sqrt{n}$ .
b) Lequel de E ou F est le plus grand ?
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7
Un carré a une aire de 48 cm².
a) Donne la valeur exacte de son côté, sous la forme $a\sqrt{b}$ .
b) Calcule son périmètre exact, puis une valeur approchée au dixième de centimètre.
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8
a) Réduis $G = 2\sqrt{45} - \sqrt{20} + \sqrt{5}$ .
b) Entre quels deux entiers consécutifs se trouve G ?
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9
On pose $D = \sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{5}$ .
a) Écris D sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible.
b) Donne une valeur approchée de D au dixième.
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10
On pose $E = \frac{12}{\sqrt{6}}$ .
a) Rends le dénominateur rationnel et simplifie.
b) Compare E et $\sqrt{24}$ .
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