Les racines carrées

🟠 Difficile

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1
On pose $E = \frac{12}{\sqrt{6}}$ .
a) Rends le dénominateur rationnel et simplifie.
b) Compare E et $\sqrt{24}$ .
Voir le corrigéoffert
a) On multiplie haut et bas par $\sqrt{6}$ : $E = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$ .

b) $\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$ .
Les deux nombres sont donc égaux.
Valeur approchée : $2 \times 2{,}449 \approx 4{,}90$ .
2
Un carré a une aire de 48 cm².
a) Donne la valeur exacte de son côté, sous la forme $a\sqrt{b}$ .
b) Calcule son périmètre exact, puis une valeur approchée au dixième de centimètre.
Voir le corrigéoffert
a) L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^{2}$ , donc $c^{2} = 48$ et $c = \sqrt{48}$ (le côté est positif).
$48 = 16 \times 3$ , donc $c = 4\sqrt{3}$ cm.

b) Périmètre $= 4c = 4 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ cm.
$\sqrt{3} \approx 1{,}732$ , donc le périmètre vaut environ $16 \times 1{,}732 = 27{,}712$ .
Au dixième : environ 27,7 cm.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
On pose $D = (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)$ .
a) Développe D à l'aide d'une identité remarquable.
b) Le nombre D est-il un entier ? Justifie.
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4
On pose $D = \sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{5}$ .
a) Écris D sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible.
b) Donne une valeur approchée de D au dixième.
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5
Un triangle est rectangle en A, avec $AB = 5$ cm et $AC = 7$ cm.
a) Calcule la longueur exacte de BC, sous la forme $\sqrt{n}$ .
b) Donne une valeur approchée au millimètre, et encadre BC entre deux entiers consécutifs.
Observe bien la figure !
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6
On pose $E = 3\sqrt{2}$ et $F = \sqrt{17}$ .
a) Écris E sous la forme $\sqrt{n}$ .
b) Lequel de E ou F est le plus grand ?
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7
a) Calcule $\sqrt{12} \times \sqrt{27}$ .
b) Calcule $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$ .
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8
On pose $A = \sqrt{75} + \sqrt{27}$ .
a) Écris A sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible.
b) Donne une valeur approchée de A au dixième.
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9
On pose $B = \sqrt{50} - \sqrt{18}$ et $C = \sqrt{8}$ .
a) Écris B et C sous la forme $a\sqrt{b}$ .
b) Que remarques-tu ?
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10
a) Réduis $G = 2\sqrt{45} - \sqrt{20} + \sqrt{5}$ .
b) Entre quels deux entiers consécutifs se trouve G ?
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