Les racines carrées
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On pose A = √18 + √50 − √8.
a) Simplifie chacune des trois racines sous la forme a√2.
b) Écris A sous la forme a√b la plus simple.
c) Encadre A entre deux entiers consécutifs.✅ Voir le corrigéoffert
a) Je simplifie chaque racine en sortant le plus grand carré parfait :
√18 = √(9 × 2) = 3√2 ;
√50 = √(25 × 2) = 5√2 ;
√8 = √(4 × 2) = 2√2.
b) Toutes contiennent √2, je peux donc les combiner :
A = 3√2 + 5√2 − 2√2 = (3 + 5 − 2)√2 = 6√2.
c) Pour encadrer 6√2, je le réécris en une seule racine : 6√2 = √(36 × 2) = √72.
Je cherche les carrés parfaits qui entourent 72 : 64 = 8² et 81 = 9².
Comme 64 < 72 < 81, on a 8 < √72 < 9, donc 8 < A < 9.
Résultat : A = 6√2, compris entre 8 et 9. - 2
Un carré a une aire de 45 cm².
a) Donne la valeur exacte de la longueur de son côté.
b) Écris cette longueur sous la forme a√b.
c) Entre quels deux entiers (en cm) se situe la mesure du côté ?✅ Voir le corrigéoffert
a) L'aire d'un carré de côté c vaut c². Ici c² = 45, et comme une longueur est positive, c = √45 cm.
b) Je simplifie : 45 = 9 × 5, avec 9 = 3² un carré parfait.
Donc c = √45 = √(9 × 5) = 3√5 cm.
c) J'encadre √45 : les carrés parfaits voisins sont 36 = 6² et 49 = 7².
Comme 36 < 45 < 49, on a 6 < √45 < 7.
Donc le côté mesure entre 6 cm et 7 cm.
Vérification : (3√5)² = 9 × 5 = 45 ✓. - 3
Un rectangle a pour longueur L = √12 cm et pour largeur l = √3 cm.
a) Calcule son aire (résultat entier).
b) Calcule son périmètre sous la forme a√b.
c) Un carré a la même aire que ce rectangle : donne la valeur exacte de son côté et encadre-le entre deux entiers.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 4
On considère les nombres √3 + 2 et √3 − 2.
a) Développe (√3 + 2)².
b) Développe (√3 − 2)².
c) Calcule le produit (√3 + 2)(√3 − 2).🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 5
On veut comparer les nombres √2 + √3 et √5, tous deux positifs.
a) Développe (√2 + √3)².
b) Compare (√2 + √3)² et (√5)², puis conclus sur √2 + √3 et √5.
c) Sachant que √6 est proche de 2,45, encadre √2 + √3 entre deux entiers consécutifs.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 6
On pose x = √30.
a) Encadre x entre deux entiers consécutifs.
b) Encadre x entre deux nombres à un chiffre après la virgule (au dixième).
c) Déduis-en un encadrement de 2x.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 7
On pose A = (√27 + √12) ÷ √3 et B = (√50 − √18) ÷ √2.
a) Simplifie le numérateur de A, puis calcule A.
b) Simplifie le numérateur de B, puis calcule B.
c) Calcule le produit A × B.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 8
Un jardin carré a une aire de 288 m².
a) Donne la longueur exacte de son côté sous la forme a√b.
b) Entre quels deux entiers (en m) se situe cette longueur ?
c) Donne le périmètre exact du jardin sous la forme a√b.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 9
On pose A = √75, B = √48 et C = √12.
a) Simplifie A, B et C sous la forme a√3.
b) Calcule A + B − C.
c) Calcule le produit A × C (résultat entier).
d) Encadre A + B − C entre deux entiers consécutifs.🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner → - 10
Un triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 2√3 cm et AC = 4 cm.
a) Calcule (2√3)².
b) Calcule BC² puis donne la longueur exacte BC sous la forme a√b.
c) Entre quels deux entiers (en cm) se situe BC ?🔒 Corrigé réservé aux abonnésS'abonner →
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