Le théorème de Thalès

🟠 Difficile

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1
Dans un triangle ABC, $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$ . On donne $AM = 6\,\text{cm}$ , $MN = 5\,\text{cm}$ et $BC = 12{,}5\,\text{cm}$ .
a) Calcule AB.
b) Calcule MB.
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a) Thalès donne $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$ .
$\frac{MN}{BC} = \frac{5}{12{,}5} = 0{,}4$ .
Donc $\frac{6}{AB} = 0{,}4$ , d'où $AB = 6 \div 0{,}4 = 15\,\text{cm}$ .

b) $MB = AB - AM = 15 - 6 = 9\,\text{cm}$ .
Contrôle : $\frac{6}{15} = 0{,}4$ .
2
Dans un triangle ABC, $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$ . On donne $AM = 7\,\text{cm}$ , $AB = 12\,\text{cm}$ et $BC = 9\,\text{cm}$ .
a) Calcule la valeur exacte de MN, sous forme de fraction.
b) Donne une valeur approchée au dixième, puis calcule MB.
Voir le corrigéoffert
a) Le rapport vaut $\frac{AM}{AB} = \frac{7}{12}$ .
$MN = 9 \times \frac{7}{12} = \frac{63}{12} = \frac{21}{4}\,\text{cm}$ .

b) $\frac{21}{4} = 5{,}25$ , soit environ $5{,}3\,\text{cm}$ .
$MB = 12 - 7 = 5\,\text{cm}$ .
On remarque que MN et MB sont proches, mais ce n'est qu'une coïncidence de valeurs.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Dans un triangle ABC, $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$ . On donne $AM = 8\,\text{cm}$ , $MB = 4\,\text{cm}$ et $AN = 10\,\text{cm}$ .
a) Calcule AC.
b) Calcule NC, puis vérifie le rapport $\frac{MB}{AB}$ .
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4
Dans un triangle ABC, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ , avec $AM = 4\,\text{cm}$ , $MB = 6\,\text{cm}$ , $AN = 6\,\text{cm}$ et $NC = 9\,\text{cm}$ .
a) Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
b) Si oui, calcule MN sachant que $BC = 12{,}5\,\text{cm}$ .
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5
Pour mesurer la hauteur d'un arbre, on plante à côté un piquet vertical de 1,20 m. Au même moment, le piquet projette une ombre de 0,90 m et l'arbre une ombre de 6 m.
a) Explique pourquoi on est dans une configuration de Thalès.
b) Calcule la hauteur de l'arbre.
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6
Un triangle a une aire de $60\,\text{cm}^{2}$ et un périmètre de 40 cm. On en fait une réduction de rapport $k = \frac{1}{4}$ .
a) Quel est le périmètre de la réduction ?
b) Quelle est son aire ?
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7
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent en O (configuration « papillon »), avec $(AC) \parallel (BD)$ . On donne $OA = 4\,\text{cm}$ , $OB = 10\,\text{cm}$ , $OC = 6\,\text{cm}$ et $AC = 5\,\text{cm}$ .
a) Calcule OD.
b) Calcule BD.
Je repère les triangles !
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8
Dans un triangle ABC, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ , avec $AM = 5\,\text{cm}$ , $AB = 8\,\text{cm}$ , $AN = 6\,\text{cm}$ et $AC = 10\,\text{cm}$ .
a) Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
b) Quelle valeur devrait avoir AN pour qu'elles le soient ?
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9
Dans un triangle ABC, $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$ . On donne $AM = 6\,\text{cm}$ , $AB = 15\,\text{cm}$ et $BC = 20\,\text{cm}$ .
a) Calcule MN.
b) Sachant que $AC = 12\,\text{cm}$ , calcule AN puis NC.
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10
Deux triangles semblables ont pour rapport de réduction $k = 0{,}6$ . Le grand a des côtés de 15 cm, 20 cm et 25 cm.
a) Donne les côtés du petit triangle.
b) Le grand triangle est-il rectangle ? Et le petit ?
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