Le théorème de Thalès

Dans un triangle ABC, AB = 12 cm, AC = 9 cm et BC = 15 cm. Le point M est sur [AB] avec AM = 8 cm. Le point N est sur [AC] tel que (MN) // (BC).
a) Calcule AN puis NC.
b) Calcule MN.
c) Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC. Donne le rapport de réduction k, puis le rapport des aires $\frac{aire AMN}{aire ABC}$.

Dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). On sait que AB = 10 cm, AC = 8 cm, AM = x cm et AN = (x − 1) cm.
a) Écris l'égalité de Thalès en fonction de x.
b) Résous l'équation et donne AM et AN.
c) Vérifie ton résultat.

Sur une figure, les points A, M, B sont alignés dans cet ordre et les points A, N, C sont alignés dans cet ordre, avec (MN) // (BC). Un géomètre mesure AM = 15 m, MB = 25 m et MN = 18 m. La distance BC représente la largeur d'un lac, impossible à mesurer directement.
a) Calcule AB.
b) Calcule BC, la largeur du lac.
c) Le géomètre se rend compte qu'il s'était trompé : en réalité MB = 20 m (et non 25 m). Quelle largeur aurait-il alors trouvée ? De combien de mètres se serait-il trompé ?

Une maquette de fusée est une réduction de la vraie fusée, de rapport k = $\frac{1}{40}$.
a) La maquette mesure 1,5 m de haut. Quelle est la hauteur réelle de la fusée ?
b) L'aire d'un hublot sur la maquette est de 2 cm². Quelle est l'aire réelle correspondante (en cm² puis en m²) ?
c) Le réservoir de la maquette a un volume de 500 cm³. Quel est le volume réel (en cm³ puis en m³) ?

Sur une droite, les points A, M, B sont alignés dans cet ordre avec AM = 6 cm et AB = 15 cm. Sur une autre droite passant par A, les points A, N, C sont alignés dans cet ordre avec AN = 8 cm et AC = 20 cm.
a) Démontre que (MN) et (BC) sont parallèles.
b) Sachant BC = 25 cm, calcule MN.
c) Calcule MB et NC, puis vérifie que $\frac{MB}{AB}$ = $\frac{NC}{AC}$.

ABCD est un trapèze de bases (AB) et (CD), avec (AB) // (CD). Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. On donne AB = 8 cm, CD = 12 cm et OA = 5 cm.
a) Explique pourquoi on est dans une configuration de Thalès (papillon) et écris les rapports.
b) Calcule OC.
c) Sachant OB = 6 cm, calcule OD.

Dans un triangle ABC, on place M sur [AB] avec AM = $\frac{1}{3}$ AB, et N sur [AC] tel que (MN) // (BC). On place ensuite P sur [AM] avec AP = $\frac{1}{2}$ AM, et Q sur [AN] tel que (PQ) // (MN).
a) Justifie que (PQ) // (BC).
b) Exprime AP en fonction de AB.
c) Sachant BC = 18 cm, calcule MN et PQ.

Les droites (RS) et (TU) se coupent en O, avec R et S de part et d'autre de O, T et U de part et d'autre de O (configuration papillon). On sait que (RT) // (SU). On pose OR = x, OS = (x + 4), OT = 6 cm et OU = 10 cm.
a) Écris l'égalité de Thalès en fonction de x.
b) Résous l'équation et trouve OR et OS.
c) Sachant RT = 9 cm, calcule SU.

On étudie deux triangles.
Dans le triangle ABC : M ∈ [AB], N ∈ [AC] avec AM = 4 cm, AB = 6 cm, AN = 6 cm, AC = 9 cm.
Dans le triangle DEF : P ∈ [DE], Q ∈ [DF] avec DP = 5 cm, DE = 8 cm, DQ = 7 cm, DF = 11 cm.
a) Dans lequel des deux triangles la droite tracée est-elle parallèle au troisième côté ? Justifie par le calcul.
b) Pour le triangle où ce n'est pas parallèle, quelle devrait être la valeur de DQ pour que la droite devienne parallèle au troisième côté (DF restant égal à 11 cm) ?

Un terrain triangulaire ABC a pour dimensions AB = 60 m, AC = 45 m et BC = 75 m. Un chemin (MN) parallèle à [BC] partage le terrain : M ∈ [AB] avec AM = 40 m, et N ∈ [AC].
a) Calcule AN et la longueur MN du chemin.
b) Le petit triangle AMN sera une pelouse. Quel est le rapport $\frac{aire AMN}{aire ABC}$ ?
c) Sachant que l'aire totale du terrain ABC est 1350 m², calcule l'aire de la pelouse AMN, puis l'aire de la partie restante MBCN.