Le théorème de Thalès

ABCD est un trapèze de bases (AB) et (CD), avec (AB) // (CD). Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. On donne AB = 8 cm, CD = 12 cm et OA = 5 cm.
Sachant OB = 6 cm, calcule OD.

Dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). On sait que AB = 10 cm, AC = 8 cm, AM = x cm et AN = (x − 1) cm.
Résous l'équation et donne AM et AN.

Dans un triangle ABC, on place M sur [AB] avec AM = $\frac{1}{3}$ AB, et N sur [AC] tel que (MN) // (BC). On place ensuite P sur [AM] avec AP = $\frac{1}{2}$ AM, et Q sur [AN] tel que (PQ) // (MN).
Sachant BC = 18 cm, calcule MN et PQ.

On étudie deux triangles.
Dans le triangle ABC : $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ avec $AM = 4\,\text{cm}$, $AB = 6\,\text{cm}$, $AN = 6\,\text{cm}$, $AC = 9\,\text{cm}$.
Dans le triangle DEF : $P \in [DE]$, $Q \in [DF]$ avec $DP = 5\,\text{cm}$, $DE = 8\,\text{cm}$, $DQ = 7\,\text{cm}$, $DF = 11\,\text{cm}$.
Pour le triangle où ce n'est pas parallèle, quelle devrait être la valeur de DQ pour que la droite devienne parallèle au troisième côté (DF restant égal à 11 cm) ?

Dans un triangle ABC, AB = 12 cm, AC = 9 cm et BC = 15 cm. Le point M est sur [AB] avec AM = 8 cm. Le point N est sur [AC] tel que (MN) // (BC).
Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC. Donne le rapport de réduction k, puis le rapport des aires $\frac{aire AMN}{aire ABC}$.

Sur une droite, les points A, M, B sont alignés dans cet ordre avec $AM = 6\,\text{cm}$ et $AB = 15\,\text{cm}$. Sur une autre droite passant par A, les points A, N, C sont alignés dans cet ordre avec $AN = 8\,\text{cm}$ et $AC = 20\,\text{cm}$.
Calcule MB et NC, puis vérifie que $\frac{MB}{AB} = \frac{NC}{AC}$.

Sur une figure, les points A, M, B sont alignés dans cet ordre et les points A, N, C sont alignés dans cet ordre, avec (MN) // (BC). Un géomètre mesure AM = 15 m, MB = 25 m et MN = 18 m. La distance BC représente la largeur d'un lac, impossible à mesurer directement.
Le géomètre se rend compte qu'il s'était trompé : en réalité MB = 20 m (et non 25 m). Quelle largeur aurait-il alors trouvée ? De combien de mètres se serait-il trompé ?

Les droites (RS) et (TU) se coupent en O, avec R et S de part et d'autre de O, T et U de part et d'autre de O (configuration papillon). On sait que (RT) // (SU). On pose OR = x, OS = (x + 4), OT = 6 cm et OU = 10 cm.
Sachant RT = 9 cm, calcule SU.

Un terrain triangulaire ABC a pour dimensions $AB = 60\,\text{m}$, $AC = 45\,\text{m}$ et $BC = 75\,\text{m}$. Un chemin (MN) parallèle à [BC] partage le terrain : $M \in [AB]$ avec $AM = 40\,\text{m}$, et $N \in [AC]$.
Sachant que l'aire totale du terrain ABC est $1350\,\text{m}^{2}$, calcule l'aire de la pelouse AMN, puis l'aire de la partie restante MBCN.

Une maquette de fusée est une réduction de la vraie fusée, de rapport $k = \frac{1}{40}$.
Le réservoir de la maquette a un volume de $500\,\text{cm}^{3}$. Quel est le volume réel (en $\text{cm}^{3}$ puis en $m^{3}$) ?