Le théorème de Thalès

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1
Dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). On donne AM = 4,5 cm, AB = 7,5 cm et BC = 10 cm. Calcule MN.
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Comme (MN) // (BC), Thalès donne $\frac{AM}{AB}$ = $\frac{MN}{BC}$ , soit $\frac{4{,}5}{7{,}5}$ = $\frac{MN}{10}$ .
Je calcule d'abord le rapport connu : 4,5 ÷ 7,5 = 0,6.
Donc $\frac{MN}{10}$ = 0,6, ce qui donne MN = 10 × 0,6 = 6.
MN = 6 cm.
Vérification : $\frac{6}{10}$ = 0,6 ✓.
2
Les droites (AB) et (CD) se coupent en O, avec A et B de part et d'autre de O, C et D de part et d'autre de O (configuration « papillon »). On sait que (AC) // (BD). On donne OA = 3 cm, OB = 6 cm, OC = 4 cm et AC = 5 cm.
a) Calcule OD.
b) Calcule BD.
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Dans la configuration papillon avec (AC) // (BD), le théorème de Thalès donne :
$\frac{OA}{OB}$ = $\frac{OC}{OD}$ = $\frac{AC}{BD}$ .
Je calcule le rapport connu : $\frac{OA}{OB}$ = $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$ .
a) $\frac{OC}{OD}$ = $\frac{1}{2}$ → $\frac{4}{OD}$ = $\frac{1}{2}$ . Produit en croix : OD = 4 × 2 = 8 cm.
b) $\frac{AC}{BD}$ = $\frac{1}{2}$ → $\frac{5}{BD}$ = $\frac{1}{2}$ . Produit en croix : BD = 5 × 2 = 10 cm.
Vérification : OD = 8 cm et BD = 10 cm, avec le rapport $\frac{1}{2}$ respecté partout ✓.
3
Dans un triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC]. On donne AM = 3 cm, MB = 6 cm, AN = 4 cm et NC = 8 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
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4
Dans un triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC]. On donne AM = 4 cm, AB = 6 cm, AN = 5 cm et AC = 8 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
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5
Dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). On donne AM = 6 cm, AB = 10 cm et AC = 15 cm.
a) Calcule AN.
b) Calcule MB et NC.
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6
Un triangle a une aire de 45 cm². On en fait une réduction de rapport k = $\frac{1}{3}$ . Quelle est l'aire de la réduction ?
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7
Pour mesurer la hauteur d'un mât, on plante à côté un piquet vertical de 1 m. Au même moment, le piquet projette une ombre de 1,5 m au sol et le mât projette une ombre de 12 m. Les rayons du soleil créent une configuration de Thalès. Calcule la hauteur du mât.
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8
Dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). On donne AM = 5 cm, MN = 4 cm et BC = 10 cm. Calcule AB.
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9
Dans un triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC). On donne AM = 7 cm, AB = 9 cm et BC = 6 cm. Calcule la valeur exacte de MN (sous forme de fraction).
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10
Un triangle a pour côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm, et une aire de 6 cm². On l'agrandit avec un rapport k = 2.
a) Donne les longueurs des côtés du triangle agrandi.
b) Donne l'aire du triangle agrandi.
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