La trigonométrie

🟠 Difficile

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1
Un triangle DEF est rectangle en E, avec $DE = 8\,\text{cm}$ et $DF = 17\,\text{cm}$ .
a) Calcule la mesure de l'angle D, arrondie au degré.
b) Calcule la longueur EF, arrondie au dixième de centimètre.
Observe bien la figure !
Voir le corrigéoffert
a) DF est l'hypoténuse, DE le côté adjacent à l'angle D.
$\cos(D) = \frac{8}{17} \approx 0{,}4706$ , donc $D \approx 62^{\circ}$ .

b) Avec le théorème de Pythagore : $EF^{2} = 17^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225$ .
$EF = 15\,\text{cm}$ exactement.
Contrôle par le sinus : $\sin(62^{\circ}) \approx 0{,}883$ et $\frac{15}{17} \approx 0{,}882$ .
2
Un mât vertical projette une ombre de 12 m quand les rayons du soleil forment un angle de $35^{\circ}$ avec le sol.
a) Calcule la hauteur du mât, arrondie au dixième de mètre.
b) Calcule la longueur du rayon allant du sommet du mât au bout de l'ombre.
Observe bien la figure !
Voir le corrigéoffert
a) La hauteur est le côté opposé à l'angle de $35^{\circ}$ , l'ombre est le côté adjacent.
$\tan(35^{\circ}) = \frac{h}{12}$ , donc $h = 12 \times \tan(35^{\circ}) \approx 12 \times 0{,}7002 \approx 8{,}4$ m.

b) Ce rayon est l'hypoténuse.
$\cos(35^{\circ}) = \frac{12}{L}$ , donc $L = \frac{12}{0{,}8192} \approx 14{,}6$ m.
Contrôle par Pythagore : $\sqrt{12^{2} + 8{,}4^{2}} = \sqrt{144 + 70{,}6} \approx 14{,}6$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Une rampe d'accès mesure 9 m de long et s'élève d'une hauteur de 1,2 m.
a) Quel angle la rampe forme-t-elle avec l'horizontale ? Arrondis au dixième de degré.
b) La réglementation impose un angle inférieur à $8^{\circ}$ . Cette rampe est-elle conforme ?
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4
Du haut d'un phare de 52 m, un gardien voit un bateau sous un angle de dépression de $12^{\circ}$ (l'angle entre l'horizontale et sa ligne de visée).
a) Fais un schéma et repère le triangle rectangle utile.
b) À quelle distance du pied du phare se trouve le bateau ? Arrondis au mètre.
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5
Dans un triangle rectangle en A, le côté opposé à l'angle $\widehat{B}$ mesure 9 cm et le côté adjacent mesure 12 cm.
a) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{B}$ , arrondie au degré.
b) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{C}$ , sans utiliser de nouveau la trigonométrie.
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6
Un cerf-volant est retenu par un fil tendu de 45 m, qui forme un angle de $58^{\circ}$ avec le sol horizontal.
a) À quelle hauteur vole le cerf-volant ? Arrondis au mètre.
b) À quelle distance horizontale se trouve-t-il de la personne qui le tient ?
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7
Une échelle de 4 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à 1,5 m du mur.
a) Quel angle l'échelle forme-t-elle avec le sol ? Arrondis au degré.
b) À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée au cm.
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8
ABC est un triangle rectangle en A tel que $BC = 13\,\text{cm}$ et $AB = 5\,\text{cm}$ .
a) Calcule AC.
b) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{C}$ , arrondie au degré, de deux façons différentes.
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9
ABC est un triangle rectangle en A, avec $AB = 6\,\text{cm}$ et $\widehat{B} = 40^{\circ}$ .
a) Calcule la longueur AC, arrondie au dixième de cm.
b) Calcule la longueur BC, arrondie au dixième de cm.
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10
Un télésiège monte en ligne droite sur 800 m, avec une inclinaison constante de $23^{\circ}$ .
a) Quel dénivelé (hauteur gagnée) permet-il de franchir ? Arrondis au mètre.
b) Quelle distance horizontale parcourt-on ? Arrondis au mètre.
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