La trigonométrie

🟠 Difficile

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1
ABC est un triangle rectangle en A, avec $AB = 6\,\text{cm}$ et $\widehat{B} = 40^{\circ}$ .
a) Calcule la longueur AC, arrondie au dixième de cm.
b) Calcule la longueur BC, arrondie au dixième de cm.
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a) Par rapport à l'angle $\widehat{B}$ : AB est le côté adjacent, AC le côté opposé.
Opposé et adjacent, c'est la tangente : $\tan(\widehat{B}) = \frac{AC}{AB}$ .
$AC = AB \times \tan(40^{\circ}) = 6 \times \tan(40^{\circ}) \approx 6 \times 0{,}8391 \approx 5{,}03$ .
$AC \approx 5{,}0$ cm.

b) BC est l'hypoténuse, AB reste l'adjacent : c'est le cosinus.
$\cos(\widehat{B}) = \frac{AB}{BC}$ , donc $BC = \frac{AB}{\cos(40^{\circ})} \approx \frac{6}{0{,}766} \approx 7{,}83$ .
$BC \approx 7{,}8$ cm.
2
Une rampe d'accès mesure 9 m de long et s'élève d'une hauteur de 1,2 m.
a) Quel angle la rampe forme-t-elle avec l'horizontale ? Arrondis au dixième de degré.
b) La réglementation impose un angle inférieur à $8^{\circ}$ . Cette rampe est-elle conforme ?
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a) La hauteur est le côté opposé à l'angle cherché, la rampe est l'hypoténuse.
Opposé et hypoténuse, c'est le sinus : $\sin(\alpha) = \frac{1{,}2}{9} \approx 0{,}1333$ .
$\alpha = \sin^{-1}(0{,}1333) \approx 7{,}66^{\circ}$ .
Arrondi au dixième : $\alpha \approx 7{,}7^{\circ}$ .

b) $7{,}7^{\circ} < 8^{\circ}$ : la rampe est conforme, mais de peu.
3
Un cerf-volant est retenu par un fil tendu de 45 m, qui forme un angle de $58^{\circ}$ avec le sol horizontal.
a) À quelle hauteur vole le cerf-volant ? Arrondis au mètre.
b) À quelle distance horizontale se trouve-t-il de la personne qui le tient ?
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4
Dans un triangle rectangle en A, le côté opposé à l'angle $\widehat{B}$ mesure 9 cm et le côté adjacent mesure 12 cm.
a) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{B}$ , arrondie au degré.
b) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{C}$ , sans utiliser de nouveau la trigonométrie.
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5
Une échelle de 4 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à 1,5 m du mur.
a) Quel angle l'échelle forme-t-elle avec le sol ? Arrondis au degré.
b) À quelle hauteur touche-t-elle le mur ? Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée au cm.
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6
Du haut d'un phare de 52 m, un gardien voit un bateau sous un angle de dépression de $12^{\circ}$ (l'angle entre l'horizontale et sa ligne de visée).
a) Fais un schéma et repère le triangle rectangle utile.
b) À quelle distance du pied du phare se trouve le bateau ? Arrondis au mètre.
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7
ABC est un triangle rectangle en A tel que $BC = 13\,\text{cm}$ et $AB = 5\,\text{cm}$ .
a) Calcule AC.
b) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{C}$ , arrondie au degré, de deux façons différentes.
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8
Un télésiège monte en ligne droite sur 800 m, avec une inclinaison constante de $23^{\circ}$ .
a) Quel dénivelé (hauteur gagnée) permet-il de franchir ? Arrondis au mètre.
b) Quelle distance horizontale parcourt-on ? Arrondis au mètre.
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9
Un triangle DEF est rectangle en E, avec $DE = 8\,\text{cm}$ et $DF = 17\,\text{cm}$ .
a) Calcule la mesure de l'angle D, arrondie au degré.
b) Calcule la longueur EF, arrondie au dixième de centimètre.
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10
Un mât vertical projette une ombre de 12 m quand les rayons du soleil forment un angle de $35^{\circ}$ avec le sol.
a) Calcule la hauteur du mât, arrondie au dixième de mètre.
b) Calcule la longueur du rayon allant du sommet du mât au bout de l'ombre.
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