La trigonométrie

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1
Pour déterminer la hauteur d'un arbre sans l'approcher, un observateur mesure l'angle d'élévation du sommet depuis un point A : il trouve 30°. Il avance ensuite de 10 m en ligne droite vers l'arbre jusqu'en B, et mesure alors un angle de 45°. On note h la hauteur de l'arbre et d la distance du point B au pied de l'arbre.
a) Exprime h en fonction de d à l'aide du triangle en B.
b) Exprime h en fonction de d à l'aide du triangle en A (la distance de A au pied vaut d + 10).
c) Déduis-en la valeur de d, puis celle de h, arrondie au dixième de mètre. (On donne tan 30° ≈ 0,577.)
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a) Dans le triangle rectangle en B, l'angle vaut 45°, le côté opposé est h et le côté adjacent est d :
tan 45° = $\frac{h}{d}$ . Comme tan 45° = 1, on obtient h = d.
b) Dans le triangle rectangle en A, l'angle vaut 30°, le côté opposé est h et le côté adjacent est d + 10 :
tan 30° = $\frac{h}{(d + 10)}$ , donc h = (d + 10) × tan 30°.
c) On égale les deux expressions de h. Comme h = d :
d = (d + 10) × tan 30° ≈ 0,577 × (d + 10)
d ≈ 0,577 d + 5,77
d − 0,577 d ≈ 5,77
0,423 d ≈ 5,77
d ≈ $\frac{5{,}77}{0{,}423}$ ≈ 13,6 m.
Et puisque h = d, on a h ≈ 13,6 m.
Vérification : depuis B (à 13,6 m) l'angle de 45° donne une hauteur égale à la distance ; on retrouve bien h = d.
2
ABCD est un losange dont les diagonales mesurent AC = 16 cm et BD = 12 cm. On appelle O le centre du losange (intersection des diagonales).
a) Rappelle pourquoi les diagonales sont perpendiculaires et donne les longueurs OA et OB.
b) Calcule la longueur d'un côté du losange.
c) Calcule la mesure de l'angle OÂB (entre le côté [AB] et la diagonale [AC]), arrondie au degré, puis déduis-en la mesure de l'angle DÂB du losange.
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a) Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires (propriété du losange). Donc O est le milieu de chaque diagonale et l'angle en O est droit.
OA = $\frac{16}{2}$ = 8 cm et OB = $\frac{12}{2}$ = 6 cm.
b) Le triangle OAB est rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore :
AB² = OA² + OB² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, donc AB = √100 = 10 cm.
c) Dans le triangle OAB rectangle en O, pour l'angle OÂB : le côté opposé est OB = 6, le côté adjacent est OA = 8.
tan(OÂB) = $\frac{opposé}{adjacent}$ = $\frac{6}{8}$ = 0,75
OÂB = tan⁻¹(0,75) ≈ 37°.
La diagonale [AC] partage l'angle DÂB en deux angles égaux (une diagonale de losange est bissectrice de l'angle). Donc DÂB = 2 × OÂB ≈ 2 × 37° = 74°.
Vérification : on peut aussi écrire sin(OÂB) = $\frac{OB}{AB}$ = $\frac{6}{10}$ = 0,6, qui donne également ≈ 37°.
3
ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = AC = 13 cm et BC = 10 cm. On note H le pied de la hauteur issue de A.
a) Justifie que H est le milieu de [BC], puis calcule la longueur AH.
b) Calcule la mesure de l'angle ABC, arrondie au degré.
c) Calcule la mesure de l'angle BAC, arrondie au degré, et vérifie avec la somme des angles du triangle.
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4
Depuis le toit d'un immeuble A de 20 m de haut, on observe un immeuble B situé en face. On mesure un angle de dépression de 40° pour viser le pied de B, et un angle d'élévation de 25° pour viser le sommet de B. On note d la distance horizontale entre les deux immeubles.
a) Calcule la distance d, arrondie au dixième. (On donne tan 40° ≈ 0,839.)
b) Calcule la hauteur de la partie de B située au-dessus du niveau du toit de A, arrondie au dixième. (On donne tan 25° ≈ 0,466.)
c) Déduis-en la hauteur totale de l'immeuble B.
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5
ABCD est un trapèze rectangle en A et en D. Les bases parallèles sont [AB] et [DC] avec AB = 12 cm et DC = 7 cm ; [AD] est la hauteur du trapèze. L'angle en B mesure 50°. On appelle H le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur [AB].
a) Explique pourquoi AH = 7 cm, puis calcule HB.
b) Calcule la hauteur AD du trapèze, arrondie au centième. (On donne tan 50° ≈ 1,192.)
c) Calcule la longueur du côté oblique [BC], arrondie au centième. (On donne cos 50° ≈ 0,643.)
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6
Un téléphérique monte en ligne droite. Sur une première portion, il parcourt 800 m de câble incliné à 35° par rapport à l'horizontale. Sur une seconde portion, il parcourt 600 m de câble incliné à 42°.
a) Calcule le dénivelé (hauteur gagnée) sur la première portion, arrondi au mètre. (On donne sin 35° ≈ 0,574.)
b) Calcule la distance horizontale parcourue sur la première portion, arrondie au mètre. (On donne cos 35° ≈ 0,819.)
c) Calcule le dénivelé total après les deux portions, arrondi au mètre. (On donne sin 42° ≈ 0,669.)
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7
Un rectangle a une diagonale de 20 cm. Cette diagonale forme un angle de 34° avec la longueur du rectangle.
a) Calcule la longueur du rectangle, arrondie au centième. (On donne cos 34° ≈ 0,829.)
b) Calcule la largeur du rectangle, arrondie au centième. (On donne sin 34° ≈ 0,559.)
c) Calcule l'aire et le périmètre du rectangle, arrondis au dixième.
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8
ABC est un triangle rectangle en A, avec l'angle B = 35° et AB = 8 cm. On note H le pied de la hauteur issue de A (H sur [BC]).
a) Calcule la longueur de l'hypoténuse BC, arrondie au centième. (On donne cos 35° ≈ 0,819.)
b) Calcule la longueur AC, arrondie au centième, puis vérifie avec le théorème de Pythagore. (On donne tan 35° ≈ 0,700.)
c) Dans le triangle ABH, calcule la longueur de la hauteur AH, arrondie au centième. (On donne sin 35° ≈ 0,574.)
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9
Du sommet d'un phare de 60 m de haut, un gardien observe deux bateaux alignés avec le pied du phare, du même côté. Il mesure un angle de dépression de 30° pour le bateau le plus proche et de 18° pour le bateau le plus éloigné.
a) Calcule la distance entre le pied du phare et le bateau le plus proche, arrondie au dixième. (On donne tan 30° ≈ 0,577.)
b) Calcule la distance entre le pied du phare et le bateau le plus éloigné, arrondie au dixième. (On donne tan 18° ≈ 0,325.)
c) Déduis-en la distance qui sépare les deux bateaux.
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10
Un losange a des côtés de 8 cm et un angle de 70°.
a) Calcule les longueurs des deux diagonales, arrondies au centième. (On donne cos 35° ≈ 0,819 et sin 35° ≈ 0,574.)
b) Calcule l'aire du losange, arrondie au dixième, de deux façons différentes. (On donne sin 70° ≈ 0,940.)
c) Calcule la hauteur du losange (distance entre deux côtés parallèles), arrondie au centième.
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