La trigonométrie

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1
ABC est un triangle isocèle en A tel que $AB = AC = 13\,\text{cm}$ et $BC = 10\,\text{cm}$ . On note H le pied de la hauteur issue de A.
Calcule la mesure de l'angle BAC, arrondie au degré, et vérifie avec la somme des angles du triangle.
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a) Dans un triangle isocèle en A, la hauteur issue de A est aussi la médiane relative à [BC] : elle coupe [BC] en son milieu. Donc $BH = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\text{cm}$ .
Le triangle ABH est rectangle en H. Par Pythagore :
$AH^{2} = AB^{2} - BH^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144$ , donc $AH = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}$ .
b) Dans le triangle ABH rectangle en H, pour l'angle B : côté adjacent $BH = 5$ , hypoténuse $AB = 13$ .
$\cos (\text{ABC}) = \frac{5}{13} \approx 0{,}385$ , donc $\text{ABC} = \cos ^{-1}(0{,}385) \approx 67^{\circ}$ .
c) La hauteur [AH] partage l'angle BAC en deux angles égaux. Dans le triangle ABH, pour l'angle BÂH : côté opposé $BH = 5$ , côté adjacent $AH = 12$ .
$\tan (\text{BÂH}) = \frac{5}{12} \approx 0{,}417$ , donc BÂH $\approx 22{,}6^{\circ}$ .
Ainsi $\text{BAC} = 2 \times \text{BÂH} \approx 45{,}2^{\circ}$ , soit $\text{BAC} \approx 45^{\circ}$ au degré près.
Vérification avec la somme des angles : sans arrondir, $\text{ABC} \approx 67{,}4^{\circ}$ , et $67{,}4^{\circ} + 67{,}4^{\circ} + 45{,}2^{\circ} = 180^{\circ}$ . (Si l'on arrondit chaque angle au degré, $67^{\circ} + 67^{\circ} + 45^{\circ} = 179^{\circ}$ : l'écart de $1^{\circ}$ vient uniquement des arrondis, c'est normal.)
2
ABCD est un losange dont les diagonales mesurent $AC = 16\,\text{cm}$ et $BD = 12\,\text{cm}$ . On appelle O le centre du losange (intersection des diagonales).
Calcule la mesure de l'angle OÂB (entre le côté [AB] et la diagonale [AC]), arrondie au degré, puis la mesure de l'angle DÂB du losange.
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a) Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires (propriété du losange). Donc O est le milieu de chaque diagonale et l'angle en O est droit.
$OA = \frac{16}{2} = 8\,\text{cm}$ et $OB = \frac{12}{2} = 6\,\text{cm}$ .
b) Le triangle OAB est rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore :
$AB^{2} = OA^{2} + OB^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$ , donc $AB = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}$ .
c) Dans le triangle OAB rectangle en O, pour l'angle OÂB : le côté opposé est $OB = 6$ , le côté adjacent est $OA = 8$ .
$\tan (\text{OÂB}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{6}{8} = 0{,}75$
OÂB $= \tan ^{-1}(0{,}75) \approx 37^{\circ}$ .
La diagonale [AC] partage l'angle DÂB en deux angles égaux (une diagonale de losange est bissectrice de l'angle). Donc DÂB $= 2 \times \text{OÂB} \approx 2 \times 37^{\circ} = 74^{\circ}$ .
Contrôle : on peut aussi écrire $\sin (\text{OÂB}) = \frac{OB}{AB} = \frac{6}{10} = 0{,}6$ , qui donne également $\approx 37^{\circ}$ .
3
Un rectangle a une diagonale de 20 cm. Cette diagonale forme un angle de $34^{\circ}$ avec la longueur du rectangle.
Calcule l'aire et le périmètre du rectangle, arrondis au dixième.
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4
Depuis le toit d'un immeuble A de 20 m de haut, on observe un immeuble B situé en face. On mesure un angle de dépression de $40^{\circ}$ pour viser le pied de B, et un angle d'élévation de $25^{\circ}$ pour viser le sommet de B. On note d la distance horizontale entre les deux immeubles.
Calcule la hauteur totale de l'immeuble B.
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5
Du sommet d'un phare de 60 m de haut, un gardien observe deux bateaux alignés avec le pied du phare, du même côté. Il mesure un angle de dépression de $30^{\circ}$ pour le bateau le plus proche et de $18^{\circ}$ pour le bateau le plus éloigné.
Calcule la distance qui sépare les deux bateaux.
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6
ABCD est un trapèze rectangle en A et en D. Les bases parallèles sont [AB] et [DC] avec $AB = 12\,\text{cm}$ et $DC = 7\,\text{cm}$ ; [AD] est la hauteur du trapèze. L'angle en B mesure $50^{\circ}$ . On appelle H le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur [AB].
Calcule la longueur du côté oblique [BC], arrondie au centième. (On donne $\cos 50^{\circ} \approx 0{,}643$ .)
Observe bien la figure !
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7
Un losange a des côtés de 8 cm et un angle de $70^{\circ}$ .
Calcule la hauteur du losange (distance entre deux côtés parallèles), arrondie au centième.
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8
ABC est un triangle rectangle en A, avec l'angle $B = 35^{\circ}$ et $AB = 8\,\text{cm}$ . On note H le pied de la hauteur issue de A (H sur [BC]).
Dans le triangle ABH, calcule la longueur de la hauteur AH, arrondie au centième. (On donne $\sin 35^{\circ} \approx 0{,}574$ .)
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9
Un téléphérique monte en ligne droite. Sur une première portion, il parcourt 800 m de câble incliné à $35^{\circ}$ par rapport à l'horizontale. Sur une seconde portion, il parcourt 600 m de câble incliné à $42^{\circ}$ .
Calcule le dénivelé total après les deux portions, arrondi au mètre. (On donne $\sin 42^{\circ} \approx 0{,}669$ .)
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10
Pour déterminer la hauteur d'un arbre sans l'approcher, un observateur mesure l'angle d'élévation du sommet depuis un point A : il trouve $30^{\circ}$ . Il avance ensuite de 10 m en ligne droite vers l'arbre jusqu'en B, et mesure alors un angle de $45^{\circ}$ . On note h la hauteur de l'arbre et d la distance du point B au pied de l'arbre.
a) Exprime h en fonction de d à l'aide du triangle en B.
b) Exprime h en fonction de d à l'aide du triangle en A (la distance de A au pied vaut $d + 10$ ).
c) Déduis-en la valeur de d, puis celle de h, arrondie au dixième de mètre. (On donne $\tan 30^{\circ} \approx 0{,}577$ .)
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