Multiplication et division de relatifs

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1
On considère $P = (-2)\times (-2)\times (-2)$ , $Q = (-2)^{2}$ et $R = -2^{2}$ .
Parmi P, Q, R, lesquels sont positifs ? Explique pourquoi.
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a) $P = (-2)\times (-2)\times (-2)$ : 3 facteurs négatifs $\to \text{impair}$ → négatif, et $2\times 2\times 2 = 8$ , donc $P = -8$ . $Q = (-2)^{2} = (-2)\times (-2) = +4$ (parenthèses, même signe → +). $R = -2^{2} = -(2\times 2) = -4$ (pas de parenthèses, le carré ne porte que sur le 2).
b) On a $P = -8$ , $R = -4$ et $Q = +4$ . Ordre croissant : $-8 < -4 < +4$ , soit $P < R < Q$ .
c) Seul Q est positif. $Q = (-2)^{2}$ a des parenthèses qui enferment le signe, et un relatif au carré est toujours positif. P possède un nombre impair de facteurs négatifs (donc négatif) et R a le signe − placé devant le carré (donc négatif).
2
On pose $A = (-3)\times (-4)\times (-2)$ , $B = (-5)^{2} - (-3)^{2}$ , et $C = A + B$ .
Calcule C, puis dis s'il est positif ou négatif.
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a) $A = (-3)\times (-4)\times (-2)$ . Il y a 3 facteurs négatifs $\to \text{nombre impair} \to \text{résultat négatif}$ . On multiplie : $3\times 4\times 2 = 24$ . Donc $A = -24$ .
b) $B = (-5)^{2} - (-3)^{2}$ . On calcule chaque carré : $(-5)^{2} = (-5)\times (-5) = +25$ ; $(-3)^{2} = (-3)\times (-3) = +9$ . Donc $B = 25 - 9 = +16$ .
c) $C = A + B = (-24) + (+16)$ . On calcule : $-24 + 16 = -8$ . Donc $C = -8$ , qui est négatif.
3
On étudie les carrés et les pièges de signe.
Un élève écrit « $(-a)^{2} = -a^{2}$ ». En prenant $a = 5$ , montre que c'est faux.
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4
On veut connaître le signe d'un produit sans faire tout le calcul.
Explique comment le signe d'un produit change quand on ajoute un facteur négatif de plus.
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5
Calcule chaque expression en respectant les priorités.
a) $D = (-2)\times (-3) + (-4)\times (+5)$
b) $E = (-36)\div (-4) - (-2)\times (-7)$
c) $F = (-5)^{2} + (-4)\times (-3) - (+7)$
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6
Retrouve le nombre relatif manquant dans chaque égalité, puis vérifie ta réponse.
a) $(-4)\times x = +52$
b) $y\div (-6) = +7$
c) $(-9)\times z = -72$
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7
Dans un jeu, chaque partie perdue fait varier le solde de $-8$ points. Léa a un solde de $+40$ points.
En repartant du solde de départ $+40$ , combien de parties perdues amèneraient exactement le solde à $-24$ ? Justifie par un calcul.
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8
Calcule chaque expression.
a) $G = (-48)\div (-2)\div (+3)$
b) $H = (-5)\times (-2)\times (-1)\times (-2)$
c) $K = (-100)\div (+4)\div (-5)$
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9
Un sous-marin plonge : chaque minute, son altitude varie de $-20\,\text{m}$ (il descend de 20 m). Au départ, il est à la surface, à l'altitude 0 m.
Au bout de combien de minutes atteindra-t-il l'altitude $-300\,\text{m}$ ? Écris et effectue la division qui donne la réponse.
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10
Trois nombres relatifs non nuls a, b, c vérifient : $a\times b = -12$ , $b\times c = +20$ et $a\times c = -15$ . On sait de plus que a est négatif.
Trouve des valeurs possibles pour a, b et c.
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