Périmètres et aires

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1
On compare deux figures de même périmètre.
Le carré et le rectangle ont-ils le même périmètre ? la même aire ? Explique le lien entre périmètre et aire.
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a) Périmètre du carré $= 4 \times 8 = 32\,\text{cm}$ . Aire du carré $= 8 \times 8 = 64\,\text{cm}^{2}$ .
b) Périmètre du rectangle $= 2 \times (12 + 4) = 2 \times 16 = 32\,\text{cm}$ . Aire du rectangle $= 12 \times 4 = 48\,\text{cm}^{2}$ .
c) Les deux figures ont bien le même périmètre : 32 cm chacune.
Mais leurs aires sont différentes : $64\,\text{cm}^{2}$ pour le carré et $48\,\text{cm}^{2}$ pour le rectangle.
Deux figures peuvent avoir le même périmètre sans avoir la même aire. Ici, à périmètre égal, c'est le carré qui a la plus grande aire.
2
Un jardin rectangulaire mesure 20 m de long et 12 m de large. On aménage en son milieu une allée droite en forme de rectangle de 20 m de long et 2 m de large ; le reste est de la pelouse.
Calcule l'aire de la pelouse restante, puis son coût si la pelouse coûte 5 € le mètre carré.
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a) L'aire totale du jardin (rectangle) est : $20 \times 12 = 240\,\text{m}^{2}$ .
b) L'allée est un rectangle de 20 m sur 2 m : son aire est $20 \times 2 = 40\,\text{m}^{2}$ .
c) La pelouse occupe ce qui reste une fois l'allée retirée : $240 - 40 = 200\,\text{m}^{2}$ .
Son coût est $200 \times 5 = 1 000$ €.
Vérification : allée $(40\,\text{m}^{2})$ + pelouse $(200\,\text{m}^{2}) = 240\,\text{m}^{2}$ , ce qui redonne bien l'aire totale du jardin.
3
Un champ rectangulaire mesure 150 m de long et 80 m de large. On y sème des graines à raison de 20 g par mètre carré ; les graines coûtent 4 € le kilogramme.
Calcule le coût total des graines.
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4
On découpe une couronne (un anneau plat) : c'est un grand disque de rayon 10 cm dans lequel on a retiré un disque centré de rayon 6 cm (prends $\pi \approx 3{,}14$ ).
Calcule l'aire de la couronne.
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5
Un terrain a la forme d'un trapèze. Pour calculer son aire, on le partage en un rectangle et un triangle. La grande base mesure 14 m, la petite base (le côté parallèle opposé) mesure 8 m, et la hauteur entre ces deux bases est 5 m.
Calcule l'aire totale du terrain.
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6
On veut carreler le sol d'une pièce rectangulaire de 4 m de long et 3 m de large avec des carreaux carrés de 25 cm de côté.
Combien de carreaux faut-il, au minimum, pour couvrir toute la pièce ?
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7
Un mur rectangulaire mesure 5 m de long et 3 m de haut. Il comporte une porte rectangulaire de 2 m sur 1 m et une fenêtre carrée de 1 m de côté. Un pot de peinture couvre $6\,\text{m}^{2}$ .
Combien de pots de peinture faut-il acheter au minimum ?
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8
La roue d'un vélo a un rayon de 35 cm (prends $\pi \approx 3{,}14$ ).
Combien de tours la roue effectue-t-elle pour parcourir 1 099 m ?
Le centre et le rayon !
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9
Un éleveur dispose de 36 m de grillage pour enclore un enclos rectangulaire.
Quelle forme offre la plus grande aire aux animaux ?
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10
Une piste est formée d'un rectangle central de 80 m de long et 50 m de large, prolongé à ses deux extrémités par un demi-disque de diamètre 50 m (prends $\pi \approx 3{,}14$ ).
Calcule l'aire totale de la surface intérieure de la piste.
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