Parallélogrammes particuliers

ABCD est un parallélogramme dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont la même longueur.
a) Quelle est sa nature exacte ?
b) Que faudrait-il ajouter pour être sûr que c'est un carré ?

On sait qu'un quadrilatère est un parallélogramme, que ses diagonales ont la même longueur et qu'elles sont perpendiculaires.
a) Que donne chacune de ces deux informations prise séparément ?
b) Conclus sur la nature du quadrilatère.

Un carré et un losange ont chacun un côté de 9 cm.
a) Compare leurs périmètres.
b) Ont-ils forcément la même aire ? Justifie.

ABCD est un rectangle de centre O, et l'angle OAB mesure $35^{\circ}$.
a) Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifie.
b) Calcule l'angle AOB.

Un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles et ses diagonales de même longueur, mais celles-ci ne sont pas perpendiculaires et deux côtés consécutifs n'ont pas la même longueur.
a) Quelle est sa nature exacte ?
b) Pourquoi n'est-ce ni un losange ni un carré ?

MNPQ est un rectangle de centre O, et l'angle NMP (entre le côté $[MN]$ et la diagonale $[MP]$) mesure $32^{\circ}$.
a) Justifie que le triangle OMN est isocèle et précise en quel sommet.
b) Calcule l'angle MON.

Un losange KLMN a pour diagonales $KM = 26\,\text{cm}$ et $LN = 10\,\text{cm}$ ; elles se coupent en O.
a) Calcule OK et OL.
b) Quelle est la mesure de l'angle KOL ? Justifie.

Dans un losange ABCD, l'angle DAB mesure $76^{\circ}$. La diagonale $[AC]$ partage cet angle en deux angles égaux.
a) Calcule l'angle DAC.
b) Dans le triangle AOB (O centre du losange), calcule l'angle ABO.

On veut construire un losange dont les diagonales mesurent 8 cm et 6 cm.
a) Décris la construction étape par étape.
b) Quelle sera la longueur de chaque demi-diagonale ?

Dans un losange ABCD, l'angle en A mesure $72^{\circ}$.
a) Détermine les mesures des angles en B, C et D.
b) Ce losange est-il un carré ? Justifie.