Parallélogrammes particuliers

ABCD est un losange dont les diagonales se coupent en O. L'angle DAB mesure 116°.
a) Calcule l'angle ABC.
b) La diagonale [AC] partage l'angle DAB en deux ; calcule l'angle OAB.
c) Dans le triangle OAB rectangle en O, calcule l'angle OBA.
d) Vérifie ta réponse à l'aide de l'angle ABC trouvé au a).

MNPQ est un rectangle de centre O. On donne l'angle NMP = 28° (angle entre le côté [MN] et la diagonale [MP]).
a) Justifie que le triangle OMN est isocèle et précise en quel sommet.
b) Calcule l'angle ONM.
c) Calcule l'angle MON.
d) Déduis-en l'angle NOP (angle formé par les diagonales du côté de [NP]).

Un quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
a) Quelle est déjà, à coup sûr, la nature de ABCD ?
b) On ajoute que AC = BD. Quelle nature obtient-on ?
c) À la place, on suppose seulement que [AC] et [BD] sont perpendiculaires. Quelle nature obtient-on ?
d) Que faut-il ajouter à la condition du b) pour être certain d'avoir un carré ?

Un losange a une diagonale de 30 cm, et son centre O partage l'autre diagonale en deux segments de 8 cm chacun.
a) Quelle est la longueur totale de la seconde diagonale ?
b) Quelle est la mesure de l'angle formé par les deux diagonales ?
c) Un côté de ce losange mesure 17 cm ; calcule son périmètre.
d) Ce losange peut-il être un carré ? Justifie.

ABCD est un rectangle. La diagonale [AC] fait avec le côté [AB] un angle de 40°.
a) Donne la mesure de l'angle CAB.
b) Calcule l'angle ACB, dans le triangle ABC rectangle en B.
c) Calcule l'angle CAD (entre la diagonale et le côté [AD]).
d) Vérifie que angle CAB + angle CAD = 90° et explique pourquoi c'était prévisible.

On veut construire un carré ABCD dont la diagonale [AC] mesure 10 cm.
a) Où se trouve le centre O du carré sur [AC], et combien mesure OA ?
b) Quelle propriété des diagonales du carré permet de placer B et D ?
c) Combien mesure OB ? Justifie à partir des propriétés du carré.
d) Décris la construction complète, une phrase par étape.

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.
a) Tout carré est un losange.
b) Tout losange est un carré.
c) Un rectangle qui a deux côtés consécutifs égaux est un carré.
d) Un parallélogramme qui a un angle droit et deux côtés consécutifs égaux est un carré.

Dans un losange ABCD, l'angle DAB mesure 60°.
a) Calcule l'angle ABC.
b) Trace la diagonale [BD]. Montre que le triangle ABD est isocèle et précise en quel sommet.
c) Calcule les angles ADB et ABD du triangle ABD.
d) Quelle est la nature exacte du triangle ABD ? Justifie.

Kala décrit un quadrilatère PQRS avec ces indices : « il a 4 côtés égaux » et « un de ses angles mesure 90° ».
a) La première information donne quelle nature ?
b) En ajoutant la seconde, quelle est la nature exacte ?
c) Combien d'axes de symétrie a cette figure ?
d) Un côté mesure 6 cm : calcule le périmètre. On mesure la diagonale [PR] : environ 8,5 cm ; que vaut alors [QS] ?

ABCD est un parallélogramme, et O est le point d'intersection des diagonales. On sait que OA = OB.
a) Justifie que les diagonales [AC] et [BD] ont la même longueur.
b) Quelle est alors la nature de ABCD ?
c) On apprend en plus que [AC] est perpendiculaire à [BD]. Quelle devient la nature de ABCD ?
d) Dans ce dernier cas, si l'angle OAB mesure a, que vaut nécessairement a ? Justifie par le calcul.