Parallélogrammes particuliers

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1
Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.
a) Tout carré est un losange.
b) Tout losange est un carré.
c) Un rectangle qui a deux côtés consécutifs égaux est un carré.
d) Un parallélogramme qui a un angle droit et deux côtés consécutifs égaux est un carré.
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a) Vrai. Un carré a 4 côtés égaux, ce qui est exactement la définition d'un losange : tout carré est donc un losange.
b) Faux. Un losange n'a pas forcément d'angle droit ; seul un losange qui a un angle droit est un carré. En général, un losange n'est pas un carré.
c) Vrai. Un rectangle a 4 angles droits ; si deux côtés consécutifs sont égaux, alors, par l'égalité des côtés opposés, les 4 côtés sont égaux : rectangle avec 4 côtés égaux $= \text{carré}$ .
d) Vrai. Un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle ; avec deux côtés consécutifs égaux, ses 4 côtés deviennent égaux : c'est donc un carré.
2
Un quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
Que faut-il ajouter à la condition du b) pour être certain d'avoir un carré ?
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a) Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
b) Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur $(AC = BD)$ est un rectangle.
c) Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
d) Au b) on a un rectangle ; pour obtenir un carré, il faut aussi que les diagonales soient perpendiculaires : le rectangle devient alors un losange, donc un carré.
On peut aussi ajouter « deux côtés consécutifs égaux » : cela transforme le rectangle en carré.
3
On veut construire un carré ABCD dont la diagonale [AC] mesure 10 cm.
Décris la construction complète, une phrase par étape.
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4
Un losange a une diagonale de 30 cm, et son centre O partage l'autre diagonale en deux segments de 8 cm chacun.
Ce losange peut-il être un carré ? Justifie.
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5
Dans un losange ABCD, l'angle DAB mesure $60^{\circ}$ .
Quelle est la nature exacte du triangle ABD ? Justifie.
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6
Kala décrit un quadrilatère PQRS avec ces indices : « il a 4 côtés égaux » et « un de ses angles mesure $90^{\circ}$ ».
Un côté mesure 6 cm : calcule le périmètre. On mesure la diagonale [PR] : environ 8,5 cm ; que vaut alors [QS] ?
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7
MNPQ est un rectangle de centre O. On donne l'angle $\text{NMP} = 28^{\circ}$ (angle entre le côté [MN] et la diagonale [MP]).
Calcule l'angle NOP (angle formé par les diagonales du côté de [NP]).
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8
ABCD est un parallélogramme, et O est le point d'intersection des diagonales. On sait que $OA = OB$ .
Si de plus [AC] est perpendiculaire à [BD] et que l'angle OAB mesure a, que vaut nécessairement a ? Justifie par le calcul.
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9
ABCD est un rectangle. La diagonale [AC] fait avec le côté [AB] un angle de $40^{\circ}$ .
Vérifie que angle $\text{CAB} + \text{angle CAD} = 90^{\circ}$ et explique pourquoi c'était prévisible.
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10
ABCD est un losange dont les diagonales se coupent en O. L'angle DAB mesure $116^{\circ}$ .
Dans le triangle OAB rectangle en O, calcule l'angle OBA.
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