La symétrie centrale

🟠 Difficile

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1
Parmi les lettres majuscules H, A, S, N et T :
a) Lesquelles possèdent un centre de symétrie ?
b) Que se passe-t-il pour ces lettres quand on fait un demi-tour autour de ce centre ?
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a) H, S et N possèdent un centre de symétrie.
A et T n'en ont pas (elles ont seulement un axe de symétrie vertical).

b) Un demi-tour de $180^{\circ}$ autour du centre les laisse inchangées : la lettre se superpose exactement à elle-même.
2
Kala dit : « La symétrie centrale, c'est un demi-tour. »
a) Quelle rotation, en degrés, fait-on autour du centre O ?
b) Si l'on applique deux fois de suite la symétrie de centre O à un point A, où arrive-t-on ?
Voir le corrigéoffert
a) Un demi-tour correspond à une rotation de $180^{\circ}$ autour du point O.

b) Deux demi-tours font un tour complet, soit $360^{\circ}$ .
Le symétrique de A est A', et le symétrique de A' est de nouveau A : on revient au point de départ.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
O est le milieu du segment $[AB]$ . On construit le symétrique de $[AB]$ par rapport à O.
a) Que remarque-t-on ?
b) Explique pourquoi, en utilisant la définition de la symétrie centrale.
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4
On considère un parallélogramme ABCD dont les diagonales se coupent en O.
a) Le point O est-il un centre de symétrie du parallélogramme ? Justifie.
b) Quel est le symétrique du sommet A par rapport à O ?
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5
Un triangle a une base de 7 cm et une hauteur de 4 cm relative à cette base. On construit son symétrique par rapport à un point O.
a) Calcule l'aire du triangle de départ.
b) Quelle est l'aire du triangle image ? Justifie.
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6
Dans un repère, on considère $A(3 \,;\, 2)$ .
a) Détermine $A_1$ , symétrique de A par rapport à l'axe des ordonnées.
b) Détermine $A_2$ , symétrique de A par rapport à l'origine O, puis compare $A_1$ et $A_2$ .
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7
Dans un repère, on donne le triangle $A(2 \,;\, 1)$ , $B(5 \,;\, 1)$ et $C(2 \,;\, 4)$ .
a) Détermine les symétriques A', B' et C' par rapport à l'origine O.
b) Le triangle A'B'C' est-il rectangle ? Justifie sans calcul de longueur.
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8
Un pentagone a un périmètre de 28 cm et une aire de $40\,\text{cm}^2$ . On construit son symétrique par rapport à un point O.
a) Quel est le périmètre du pentagone image ?
b) Quelle est son aire ? Justifie les deux réponses par une même propriété.
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9
Dans un repère, on donne $A(4 \,;\, 3)$ et le centre $C(1 \,;\, 2)$ .
a) Détermine les coordonnées de A', symétrique de A par rapport à C.
b) Vérifie que C est bien le milieu de $[AA']$ .
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10
Dans un repère, $M(-3 \,;\, 4)$ a pour symétrique $M'(5 \,;\, -2)$ par rapport à un point O.
a) Détermine les coordonnées de O.
b) Quelle est la distance, en abscisse, entre M et O ? Et entre O et M' ?
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