La symétrie centrale

🟡 Moyen

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1
Explique pourquoi on dit que la symétrie centrale correspond à un « demi-tour ». Quelle rotation, en degrés, fait-on autour du centre O ?
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Faire le symétrique d'un point M par rapport à O revient à faire tourner M autour de O jusqu'à l'autre côté, à la même distance de O.
Un tour complet fait $360^{\circ}$ . Un « demi-tour » en est la moitié.
On tourne donc de $360^{\circ} \div 2 = 180^{\circ}$ autour du centre O.
C'est pour cela que la figure image apparaît « retournée » : c'est la même figure, mais après un demi-tour de $180^{\circ}$ autour de O.
2
O est le milieu du segment [AB]. On construit le symétrique de [AB] par rapport à O. Que remarque-t-on ? Justifie.
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Cherchons le symétrique de A par rapport à O : c'est le point A' tel que O soit le milieu de [AA'].
Or O est justement le milieu de [AB], donc le symétrique de A est B lui-même : $A' = B$ .
De la même façon, le symétrique de B est A : $B' = A$ .
Le symétrique du segment [AB] est donc le segment [BA], c'est-à-dire [AB] lui-même.
On remarque que le segment se transforme en lui-même : [AB] est globalement invariant, car O est son milieu (son centre de symétrie).
3
On considère un parallélogramme ABCD dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent en un point O. Ce point O est-il un centre de symétrie du parallélogramme ? Justifie.
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4
Un pentagone a un périmètre de 26 cm. On construit son symétrique par rapport à un point O. Quel est le périmètre du pentagone image ? Justifie.
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5
Un triangle a une base de 6 cm et une hauteur de 5 cm relative à cette base. On construit son symétrique par rapport à un point O. Quelle est l'aire du triangle image ?
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6
Parmi les lettres majuscules H, A, S, N et T, lesquelles possèdent un centre de symétrie ?
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7
Dans un repère, le centre de symétrie est $C(2 \,;\, 1)$ et on considère le point $A(5 \,;\, 3)$ . Détermine les coordonnées de A', symétrique de A par rapport à C.
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8
Dans un repère, on considère le point $M(3 \,;\, 2)$ et l'origine $O(0 \,;\, 0)$ . Détermine les coordonnées de M', symétrique de M par rapport à O.
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9
Dans un repère, on donne le triangle $A(1 \,;\, 1)$ , $B(4 \,;\, 1)$ et $C(1 \,;\, 3)$ . Détermine les coordonnées des sommets de son symétrique par rapport à l'origine O.
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10
Dans un repère, $M(-2 \,;\, 5)$ a pour symétrique $M'(4 \,;\, -1)$ par rapport à un point O. Détermine les coordonnées de O.
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