La symétrie centrale

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1
Réponds à ces questions sur les centres de symétrie des figures usuelles.
Un segment [AB] possède-t-il un centre de symétrie ?
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a) Oui. Le centre de symétrie du carré est le point d'intersection de ses deux diagonales. Un demi-tour de $180^{\circ}$ autour de ce point redonne exactement le carré.
b) Non. Si on fait faire un demi-tour à un triangle équilatéral autour de son centre, une pointe qui était en haut se retrouve en bas : la figure ne se superpose pas à elle-même. Un triangle équilatéral n'a donc pas de centre de symétrie (il possède seulement des axes de symétrie).
c) Oui. Le centre de symétrie d'un segment [AB] est son milieu : le symétrique de A par rapport à ce milieu est B, et celui de B est A, donc le segment se retrouve sur lui-même.
2
On considère un point A et un point O. Soit A' le symétrique de A par rapport à O.
a) De combien de degrés « tourne-t-on » autour de O pour passer de A à A' ?
b) On construit ensuite A'', le symétrique de A' par rapport au même point O. Où se retrouve A'' ?
c) Où se retrouve A'', symétrique de A' par rapport à O ? Explique avec la définition du milieu.
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a) La symétrie centrale correspond à un demi-tour autour de O, c'est-à-dire une rotation de $180^{\circ}$ .
b) A' est le symétrique de A ; en refaisant la symétrie de centre O sur A', on revient sur A. Donc A'' $= A$ .
c) Comme O est le milieu de [AA'], le point A est à la même distance de O que A', mais du côté opposé.
Quand on prend le symétrique de A' par rapport à O, on cherche le point situé de l'autre côté de O, à la distance OA' : c'est exactement la position de A.
Donc A'' $= A$ : appliquer deux fois la même symétrie centrale ramène chaque point à sa position de départ.
3
Dans un repère, on sait que $A'(-2 \,;\, -3)$ est le symétrique d'un point A par rapport à $O(1 \,;\, 1)$ .
Existe-t-il un point qui est son propre symétrique par la symétrie de centre O ? Lequel ? Explique.
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4
Dans un repère, le centre de symétrie est $C(2 \,;\, -1)$ . On considère les points $A(-1 \,;\, 3)$ et $B(5 \,;\, 3)$ .
Sans mesurer, donne la longueur de [A'B'] sachant que [AB] est horizontal. Justifie.
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5
Dans un repère, on considère le triangle $A(0 \,;\, 0)$ , $B(4 \,;\, 0)$ et $C(0 \,;\, 3)$ . On prend pour centre de symétrie le point $O(2 \,;\, 0)$ , milieu de [AB].
Donne les coordonnées des sommets du triangle image A'B'C'.
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6
Dans un repère, on considère le point $A(3 \,;\, 2)$ .
Compare $A_{1}$ et $A_{2}$ , puis explique la différence entre la symétrie axiale et la symétrie centrale.
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7
Une figure F a une aire de $24\,\text{cm}^{2}$ et un périmètre de 20 cm. Un de ses côtés mesure 5 cm et forme, avec un côté voisin, un angle de $63^{\circ}$ . On construit F', symétrique de F par rapport à un point O.
La figure F' est-elle plus grande, plus petite, ou de même taille que F ? Justifie.
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8
Dans un repère, on considère le rectangle ABCD avec $A(-2 \,;\, 3)$ , $B(4 \,;\, 3)$ , $C(4 \,;\, -1)$ et $D(-2 \,;\, -1)$ . On note $O(1 \,;\, 1)$ .
Que peut-on dire du rectangle ABCD vis-à-vis du point O ?
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9
Dans un repère, on considère le triangle $A(2 \,;\, 1)$ , $B(5 \,;\, 4)$ et $C(6 \,;\, -2)$ , et l'origine O.
Que peut-on dire de l'aire du triangle A'B'C' par rapport à l'aire de ABC ?
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10
Dans un repère, le point $M(-4 \,;\, 2)$ a pour symétrique $M'(2 \,;\, -4)$ par rapport à un point O.
Vérifie que O est bien le milieu de [NN'].
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