Corrélation et causalité

🟠 Difficile

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1
On étudie la série : $x = 1$ ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et $y = 4$ ; 7 ; 9 ; 12 ; 14.
a) Détermine la droite de régression $y = ax + b$ (arrondis au centième).
b) Estime $y$ pour $x = 8$ et dis si cette estimation est fiable.
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a) On calcule d'abord les moyennes.
$\overline{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3$ .
$\overline{y} = \frac{4+7+9+12+14}{5} = \frac{46}{5} = 9{,}2$ .
À la calculatrice, la régression donne $a \approx 2{,}50$ et $b \approx 1{,}70$ .
On vérifie que la droite passe par le point moyen : $2{,}5 \times 3 + 1{,}7 = 9{,}2$ ✓.
La droite est donc $y = 2{,}50x + 1{,}70$ .

b) $y = 2{,}5 \times 8 + 1{,}7 = 21{,}7$ .
L'estimation vaut environ 21,7.
Mais $x = 8$ est en dehors de la plage étudiée, qui s'arrête à 5.
C'est une extrapolation : rien ne garantit que la tendance linéaire se poursuive.
L'estimation est donc à prendre avec prudence, contrairement à une interpolation.
2
Pour la série $x = 2$ ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 et $y = 3$ ; 6 ; 8 ; 11 ; 13 :
a) Calcule le coefficient de corrélation $r$ (arrondi au centième).
b) Un ajustement affine est-il pertinent ? Détermine la droite de régression.
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a) À la calculatrice, on trouve $r \approx 0{,}998$ .
Ce coefficient est très proche de 1 : les points sont presque alignés.
Son signe positif indique que $y$ croît avec $x$ .

b) Oui, l'ajustement affine est tout à fait pertinent.
La régression donne $a \approx 1{,}25$ et $b \approx 0{,}50$ .
La droite est $y = 1{,}25x + 0{,}50$ .
Contrôle au point moyen : $\overline{x} = 6$ et $\overline{y} = 8{,}2$ .
$1{,}25 \times 6 + 0{,}5 = 8$ : l'écart avec 8,2 vient des arrondis.
Avec plus de décimales, la droite passerait exactement par le point moyen.
3
On mesure la température extérieure $x$ (en °C) et la consommation de chauffage $y$ (en kWh) : $x = 0$ ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 et $y = 60$ ; 50 ; 38 ; 26 ; 16.
a) Détermine la droite de régression (arrondis au centième).
b) Estime la consommation à $12\,^{\circ}\mathrm{C}$ , puis à $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Commente.
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4
Une entreprise a relevé son chiffre d'affaires de 2015 à 2023 et obtenu la droite $y = 2{,}1x + 45$ ( $x$ = rang de l'année depuis 2015, $y$ en milliers d'euros).
a) Estime le chiffre d'affaires en 2020, puis en 2050.
b) Laquelle des deux estimations est fiable ? Justifie.
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5
Pour la série $x = 1$ ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 et $y = 5$ ; 3 ; 6 ; 4 ; 7 ; 4 :
a) Calcule le coefficient de corrélation $r$ (arrondi au centième).
b) Un ajustement affine est-il pertinent ? Justifie.
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6
Une étude montre une forte corrélation entre le nombre de coups de soleil et les ventes de glaces dans une ville.
a) Peut-on en conclure que les glaces provoquent des coups de soleil ?
b) Comment expliquer cette corrélation ?
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7
Pour la série $x = 1$ ; 3 ; 5 ; 7 et $y = 10$ ; 7 ; 5 ; 2 :
a) Calcule le coefficient de corrélation et détermine la droite de régression.
b) Estime $y$ pour $x = 4$ .
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8
Deux séries ont respectivement $r = 0{,}45$ et $r = -0{,}92$ .
a) Laquelle présente la liaison linéaire la plus forte ?
b) Que signifie le signe de chaque coefficient ?
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9
On relève le nombre d'heures de révision $x$ et la note obtenue $y$ pour 5 élèves : $x = 2$ ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 et $y = 6$ ; 9 ; 12 ; 14 ; 18.
a) Détermine la droite de régression et le coefficient de corrélation.
b) Estime la note d'un élève ayant révisé 7 heures. Peut-on conclure que réviser fait monter la note ?
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10
Une série de points est parfaitement située sur une parabole d'équation $y = x^{2}$ , pour $x = -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3$ .
a) Calcule le coefficient de corrélation linéaire.
b) Que peut-on en conclure ?
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