Corrélation et causalité

🟠 Difficile

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1
Une étude montre une forte corrélation entre le nombre de coups de soleil et les ventes de glaces dans une ville.
a) Peut-on en conclure que les glaces provoquent des coups de soleil ?
b) Comment expliquer cette corrélation ?
Voir le corrigéoffert
a) Non, certainement pas.
Une corrélation mesure une liaison statistique, jamais un lien de cause à effet.
Deux grandeurs peuvent varier ensemble sans que l'une agisse sur l'autre.

b) Il existe ici une troisième variable qui explique les deux : l'ensoleillement.
Quand il fait beau et chaud, les gens s'exposent davantage et achètent plus de glaces.
On parle de variable confondante, ou facteur commun.
Pour établir une causalité, il faudrait une expérience contrôlée.
C'est la différence essentielle entre corrélation et causalité.
2
Deux séries ont respectivement $r = 0{,}45$ et $r = -0{,}92$ .
a) Laquelle présente la liaison linéaire la plus forte ?
b) Que signifie le signe de chaque coefficient ?
Voir le corrigéoffert
a) C'est la valeur absolue de $r$ qui mesure la force de la liaison.
$|-0{,}92| = 0{,}92$ contre $|0{,}45| = 0{,}45$ .
La seconde série présente donc une liaison bien plus forte.

b) Un $r$ positif signifie que les deux grandeurs varient dans le même sens.
Quand $x$ augmente, $y$ tend à augmenter aussi.
Un $r$ négatif signifie qu'elles varient en sens contraires.
Ici, dans la seconde série, $y$ diminue nettement quand $x$ augmente.
Le signe de $r$ est toujours celui du coefficient directeur $a$ de la droite de régression.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Une série de points est parfaitement située sur une parabole d'équation $y = x^{2}$ , pour $x = -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3$ .
a) Calcule le coefficient de corrélation linéaire.
b) Que peut-on en conclure ?
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4
Pour la série $x = 1$ ; 3 ; 5 ; 7 et $y = 10$ ; 7 ; 5 ; 2 :
a) Calcule le coefficient de corrélation et détermine la droite de régression.
b) Estime $y$ pour $x = 4$ .
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5
Pour la série $x = 1$ ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 et $y = 5$ ; 3 ; 6 ; 4 ; 7 ; 4 :
a) Calcule le coefficient de corrélation $r$ (arrondi au centième).
b) Un ajustement affine est-il pertinent ? Justifie.
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6
Pour la série $x = 2$ ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 et $y = 3$ ; 6 ; 8 ; 11 ; 13 :
a) Calcule le coefficient de corrélation $r$ (arrondi au centième).
b) Un ajustement affine est-il pertinent ? Détermine la droite de régression.
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7
Une entreprise a relevé son chiffre d'affaires de 2015 à 2023 et obtenu la droite $y = 2{,}1x + 45$ ( $x$ = rang de l'année depuis 2015, $y$ en milliers d'euros).
a) Estime le chiffre d'affaires en 2020, puis en 2050.
b) Laquelle des deux estimations est fiable ? Justifie.
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8
On relève le nombre d'heures de révision $x$ et la note obtenue $y$ pour 5 élèves : $x = 2$ ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 et $y = 6$ ; 9 ; 12 ; 14 ; 18.
a) Détermine la droite de régression et le coefficient de corrélation.
b) Estime la note d'un élève ayant révisé 7 heures. Peut-on conclure que réviser fait monter la note ?
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9
On mesure la température extérieure $x$ (en °C) et la consommation de chauffage $y$ (en kWh) : $x = 0$ ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 et $y = 60$ ; 50 ; 38 ; 26 ; 16.
a) Détermine la droite de régression (arrondis au centième).
b) Estime la consommation à $12\,^{\circ}\mathrm{C}$ , puis à $30\,^{\circ}\mathrm{C}$ . Commente.
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10
On étudie la série : $x = 1$ ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et $y = 4$ ; 7 ; 9 ; 12 ; 14.
a) Détermine la droite de régression $y = ax + b$ (arrondis au centième).
b) Estime $y$ pour $x = 8$ et dis si cette estimation est fiable.
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