Corrélation et causalité

Une PME étudie le lien entre son budget publicitaire x (milliers d'€) et ses ventes y (milliers d'€) : x = 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 et y = 13 ; 26 ; 34 ; 42 ; 55. a) Détermine les coordonnées du point moyen G. b) Détermine la droite de régression y = ax + b par les moindres carrés. c) Calcule le coefficient de corrélation r et interprète-le. d) Estime les ventes pour un budget de 12 milliers d'€ et discute la validité de cette estimation.

La population y (en milliers) d'une bactérie est mesurée aux instants x (en heures) : x = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 et y = 2,0 ; 3,9 ; 8,1 ; 16,2 ; 32,0. On soupçonne un modèle de la forme y = k·e^(mx). a) Explique pourquoi un ajustement affine direct de y en x serait maladroit. b) On pose z = ln(y). Complète : z = 0,693 ; 1,361 ; 2,092 ; 2,785 ; 3,466. Détermine la droite de régression de z en x. c) Déduis-en les valeurs de m et k. d) Estime la population à x = 6 h.

Dans plusieurs villages, on relève le nombre de cigognes nichant sur les toits (x) et le nombre de naissances de bébés dans l'année (y). On trouve r ≈ 0,9. a) Interprète ce coefficient. b) Un habitant en conclut que « les cigognes apportent les bébés ». Réfute ce raisonnement. c) Propose une variable de confusion plausible. d) Comment pourrait-on, en principe, tester une véritable causalité ?

On observe cinq points bien alignés : (1 ; 2), (2 ; 4), (3 ; 5), (4 ; 7), (5 ; 9). Un sixième relevé, erroné, donne (6 ; 3). a) Détermine la droite de régression avec les 5 premiers points seulement. b) Détermine-la de nouveau en ajoutant le point (6 ; 3). c) Compare les deux pentes et explique l'effet de ce point aberrant.

On considère la série : x = −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 et y = 4 ; 1 ; 0 ; 1 ; 4. a) Calcule le point moyen G. b) Montre que le coefficient de corrélation linéaire r vaut 0. c) Que vaut y en fonction de x ? Que conclus-tu sur l'affirmation « r = 0 signifie qu'il n'y a aucun lien entre x et y » ?

L'intensité y (mesurée) d'un signal décroît avec la distance x (en m) : x = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 et y = 1 ; 0,68 ; 0,49 ; 0,41 ; 0,33. On soupçonne un modèle y = $\frac{1 }{ ax + b}$. a) Justifie le changement de variable z = $\frac{1 }{ y}$ et calcule les valeurs de z. b) Détermine la droite de régression de z en x. c) Déduis-en une expression approchée de y, puis estime y à x = 6 m.

Pour la série x = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et y = 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 14 : a) Détermine la droite de régression y = ax + b. b) Calcule, pour chaque point, la valeur prédite et le résidu (écart vertical réel − prédit). c) Vérifie que la somme des résidus est nulle et commente la qualité de l'ajustement.

Une série comporte 4 couples : x = 0 ; 2 ; 4 ; 6 et y = 3 ; 6 ; ? ; 14, où une valeur de y (celle associée à x = 4) a été effacée. On sait que la droite de régression est y = 2x + 3. a) Rappelle pourquoi cette droite doit passer par G. b) Détermine ȳ, puis retrouve la valeur manquante de y.

On donne : x = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et y = 2 ; 4 ; 5 ; 4 ; 6. a) Détermine la droite de régression de y en x. b) Détermine la droite de régression de x en y (x = a'y + b'). c) Vérifie que les deux droites se coupent en G et que le produit des pentes a·a' est égal à r². Donne r.

Sur cinq mois, on relève la température moyenne x (en °C) et le nombre de noyades y d'une région : x = 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 et y = 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 9. On observe par ailleurs que les ventes de glaces sont, elles aussi, fortement corrélées au nombre de noyades. a) Détermine la droite de régression de y en x. b) Calcule r et interprète-le. c) Estime le nombre de noyades pour x = 28 °C. d) Un journaliste écrit : « les glaces provoquent les noyades ». Analyse cette affirmation avec le vocabulaire du chapitre.