Corrélation et causalité

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1
Dans plusieurs villages, on relève le nombre de cigognes nichant sur les toits (x) et le nombre de naissances de bébés dans l'année (y). On trouve $r \approx 0{,}9$ .
Comment pourrait-on, en principe, tester une véritable causalité ?
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a) $r \approx 0{,}9$ est proche de 1 : il existe une forte corrélation linéaire positive entre le nombre de cigognes et le nombre de naissances dans l'échantillon de villages. Quand l'un est grand, l'autre l'est aussi.
b) Une corrélation, même forte, n'implique pas une causalité. r mesure une co-variation, pas un mécanisme. Rien dans le calcul ne dit que les cigognes AGISSENT sur les naissances ; croire le contraire, c'est confondre corrélation et causalité.
c) Variable de confusion plausible : la TAILLE du village (ou sa population). Les grands villages ont plus de bâtiments et de surfaces, donc plus de toits où nicher (plus de cigognes) ET plus d'habitants, donc plus de naissances. La taille explique les deux à la fois, sans lien direct cigognes $\to \text{bébés}$ .
d) Pour tester une causalité, il faudrait une expérience contrôlée : faire VARIER volontairement une seule cause (par ex. installer ou retirer des nids), toutes choses égales par ailleurs, et observer si les naissances changent. En l'absence d'un tel protocole et d'un mécanisme explicatif, on ne peut pas conclure à une cause.
2
On considère la série : $x = -2$ ; $-1$ ; 0 ; 1 ; 2 et $y = 4$ ; 1 ; 0 ; 1 ; 4.
Que vaut y en fonction de x ? L'affirmation « $r = 0$ signifie qu'il n'y a aucun lien entre x et y » est-elle correcte ?
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a) $\overline{x} = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2 }{ 5} = 0$ ; ȳ $= \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4 }{ 5} = \frac{10 }{ 5} = 2$ . Donc $G(0 \,;\, 2)$ .
b) Comme $\overline{x} = 0$ , on a $x - \overline{x} = x$ . Écarts en y : $4 - 2 = 2$ ; $-1$ ; $-2$ ; $-1$ ; 2.
Numérateur Σ $(x - \overline{x})$ (y − ȳ) $= (-2)(2) + (-1)(-1) + (0)(-2) + (1)(-1) + (2)(2) = -4 + 1 + 0 - 1 + 4 = 0$ .
Le numérateur de r est nul, donc $r = 0$ (peu importe le dénominateur, qui est non nul).
c) On remarque que $4 = (-2)^{2}$ , $1 = (-1)^{2}$ , $0 = 0^{2}$ , $1 = 1^{2}$ , $4 = 2^{2}$ : on a exactement $y = x^{2}$ . Il existe donc un lien PARFAIT (déterministe) entre x et y !
Conclusion : $r = 0$ signifie seulement « aucune tendance linéaire », PAS « aucun lien ». Ici la relation est parabolique, très forte, mais non linéaire, et le coefficient r ne sait pas la détecter. D'où l'importance de toujours regarder le nuage de points.
3
Une série comporte 4 couples : $x = 0$ ; 2 ; 4 ; 6 et $y = 3$ ; 6 ; ? ; 14, où une valeur de y (celle associée à $x = 4$ ) a été effacée. On sait que la droite de régression est $y = 2x + 3$ .
Détermine ȳ, puis calcule la valeur manquante de y.
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4
On donne : $x = 1$ ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et $y = 2$ ; 4 ; 5 ; 4 ; 6.
Vérifie que les deux droites se coupent en G et que le produit des pentes $a\cdot a'$ est égal à $r^{2}$ . Donne r.
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5
On observe cinq points bien alignés : $(1 \,;\, 2)$ , $(2 \,;\, 4)$ , $(3 \,;\, 5)$ , $(4 \,;\, 7)$ , $(5 \,;\, 9)$ . Un sixième relevé, erroné, donne $(6 \,;\, 3)$ .
Quel effet le point $(6 \,;\, 3)$ a-t-il sur la pente ? Explique.
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6
L'intensité y (mesurée) d'un signal décroît avec la distance x (en m) : $x = 0$ ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 et $y = 1$ ; 0,68 ; 0,49 ; 0,41 ; 0,33. On soupçonne un modèle $y = \frac{1 }{ ax + b}$ .
Donne une expression approchée de y, puis estime y à $x = 6\,\text{m}$ .
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7
Sur cinq mois, on relève la température moyenne x (en °C) et le nombre de noyades y d'une région : $x = 15$ ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 et $y = 2$ ; 3 ; 5 ; 6 ; 9. On observe par ailleurs que les ventes de glaces sont, elles aussi, fortement corrélées au nombre de noyades.
Un journaliste écrit : « les glaces provoquent les noyades ». Que penser d'une telle conclusion ? Utilise le vocabulaire du chapitre.
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8
Pour la série $x = 1$ ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et $y = 3$ ; 5 ; 8 ; 10 ; 14 :
Vérifie que la somme des résidus est nulle et commente la qualité de l'ajustement.
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9
Une PME étudie le lien entre son budget publicitaire x (milliers d'€) et ses ventes y (milliers d'€) : $x = 2$ ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 et $y = 13$ ; 26 ; 34 ; 42 ; 55.
Estime les ventes pour un budget de 12 milliers d'€, et dis jusqu'où une telle estimation est fiable.
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10
La population y (en milliers) d'une bactérie est mesurée aux instants x (en heures) : $x = 0$ ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 et $y = 2{,}0$ ; 3,9 ; 8,1 ; 16,2 ; 32,0. On soupçonne un modèle de la forme $y = k\cdot e^{mx}$ .
Estime la population à $x = 6\,\text{h}$ .
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