Corrélation et causalité
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On étudie la série : x = 1 ; 2 ; 3 ; 4 et y = 3 ; 5 ; 6 ; 9. Détermine par la méthode des moindres carrés les coefficients a et b de la droite de régression y = ax + b, puis estime y pour x = 6.
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Étape 1 — moyennes. x̄ = = 2,5 ; ȳ = = = 5,75.
Étape 2 — écarts à la moyenne.
x − x̄ : −1,5 ; −0,5 ; 0,5 ; 1,5.
y − ȳ : −2,75 ; −0,75 ; 0,25 ; 3,25.
Étape 3 — numérateur Σ(x − x̄)(y − ȳ) :
(−1,5)(−2,75) + (−0,5)(−0,75) + (0,5)(0,25) + (1,5)(3,25) = 4,125 + 0,375 + 0,125 + 4,875 = 9,5.
Étape 4 — dénominateur Σ(x − x̄)² = 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 = 5.
Étape 5 — pente a = = 1,9.
Étape 6 — ordonnée à l'origine b = ȳ − a·x̄ = 5,75 − 1,9 × 2,5 = 5,75 − 4,75 = 1.
Donc la droite est y = 1,9x + 1.
Estimation en x = 6 : y = 1,9 × 6 + 1 = 11,4 + 1 = 12,4.
Vérification : la droite passe par G(2,5 ; 5,75) car 1,9 × 2,5 + 1 = 5,75 ✓. - 2
Pour la série x = 2 ; 4 ; 6 ; 8 et y = 1 ; 2 ; 4 ; 5, calcule le coefficient de corrélation linéaire r, puis les coefficients a et b de la droite de régression. Conclus sur la pertinence d'un ajustement affine.
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Étape 1 — moyennes. x̄ = = 5 ; ȳ = = 3.
Étape 2 — écarts.
x − x̄ : −3 ; −1 ; 1 ; 3. y − ȳ : −2 ; −1 ; 1 ; 2.
Étape 3 — sommes utiles.
Σ(x − x̄)(y − ȳ) = (−3)(−2) + (−1)(−1) + (1)(1) + (3)(2) = 6 + 1 + 1 + 6 = 14.
Σ(x − x̄)² = 9 + 1 + 1 + 9 = 20. Σ(y − ȳ)² = 4 + 1 + 1 + 4 = 10.
Étape 4 — coefficient de corrélation.
r = = ≈ ≈ 0,99.
Étape 5 — droite. a = = 0,7 ; b = ȳ − a·x̄ = 3 − 0,7 × 5 = 3 − 3,5 = −0,5. Donc y = 0,7x − 0,5.
Conclusion : r ≈ 0,99 est très proche de 1, les points sont presque alignés : l'ajustement affine est tout à fait pertinent. - 3
On mesure la température extérieure x (en °C) et la consommation de chauffage y (en kWh) d'un logement : x = 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 et y = 53 ; 45 ; 34 ; 23 ; 15. Détermine la droite de régression y = ax + b (arrondis a et b au centième) et estime la consommation à 12 °C.
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Une entreprise a relevé son chiffre d'affaires de 2012 à 2020 et obtenu la droite de régression y = 1,4x + 30 (x = rang de l'année depuis 2012, y en milliers d'€). a) Estime le chiffre d'affaires en 2016. b) Estime-le pour 2040. c) Laquelle des deux estimations est fiable, et pourquoi ?
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Pour la série x = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et y = 4 ; 2 ; 5 ; 3 ; 4, calcule le coefficient de corrélation r (arrondi au centième). Un ajustement affine est-il pertinent ? Justifie.
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Une étude montre une forte corrélation (r ≈ 0,95) entre la consommation annuelle de margarine d'un pays et son taux de divorces. Un journal titre : « La margarine détruit les couples ! » Que penses-tu de ce raisonnement ? Explique en utilisant le vocabulaire du chapitre.
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La droite de régression d'un nuage a pour pente a = 3,2 et le point moyen est G(4 ; 20). a) Détermine l'ordonnée à l'origine b et l'équation de la droite. b) Estime y pour x = 10. c) Si les données observées vont de x = 1 à x = 8, cette estimation est-elle une interpolation ou une extrapolation ?
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Avec une calculatrice, on obtient pour un nuage : a = 0,85 ; b = 12,4 ; r = 0,93 (x = budget publicitaire en milliers d'€, y = ventes en milliers d'€). a) Écris l'équation de la droite de régression. b) Interprète le coefficient r. c) Estime les ventes pour un budget de 20. d) Peut-on affirmer que la publicité CAUSE les ventes ?
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On donne la série x = 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 et y = 5 ; 11 ; 15 ; 21 ; 25. Détermine la droite de régression y = ax + b, puis estime y pour x = 11.
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Trois nuages sont décrits ainsi : (A) points parfaitement alignés sur une droite descendante ; (B) points très dispersés sans tendance ; (C) points assez bien groupés autour d'une droite montante. On dispose des valeurs de r suivantes : 0,88 ; −1 ; 0,03. Associe chaque valeur au bon nuage en justifiant.
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