Répétition d'expériences et échantillonnage

🟠 Difficile

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1
La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10 \,;\, 0{,}5)$ .
a) Calcule $P(X = 5)$ .
b) Explique pourquoi c'est la valeur la plus probable.
Voir le corrigéoffert
a) $P(X = 5) = \binom{10}{5} \times 0{,}5^{5} \times 0{,}5^{5} = 252 \times 0{,}5^{10}$ .
$0{,}5^{10} = \frac{1}{1\,024}$ , donc $P(X = 5) = \frac{252}{1\,024} \approx 0{,}2461$ .

b) Comme $p = 0{,}5$ , chacune des $2^{10} = 1\,024$ suites de résultats est équiprobable.
La probabilité de chaque valeur est donc proportionnelle au coefficient binomial.
Or $\binom{10}{5} = 252$ est le plus grand de tous les $\binom{10}{k}$ .
C'est donc bien la valeur la plus probable.
Elle coïncide avec l'espérance $np = 5$ , ce qui est habituel pour une loi symétrique.
2
La variable aléatoire $X$ suit $\mathcal{B}(5 \,;\, 0{,}2)$ .
a) Calcule $P(X = 2)$ .
b) Calcule $P(X \le 1)$ puis $P(X \ge 2)$ .
Voir le corrigéoffert
a) $P(X = 2) = \binom{5}{2} \times 0{,}2^{2} \times 0{,}8^{3} = 10 \times 0{,}04 \times 0{,}512$ .
$= 0{,}2048$ .

b) $P(X = 0) = 0{,}8^{5} = 0{,}32768$ .
$P(X = 1) = 5 \times 0{,}2 \times 0{,}8^{4} = 5 \times 0{,}2 \times 0{,}4096 = 0{,}4096$ .
$P(X \le 1) = 0{,}73728$ .
Donc $P(X \ge 2) = 1 - 0{,}73728 \approx 0{,}2627$ .
On vérifie la cohérence : $P(X = 2) = 0{,}2048$ est bien inférieur à $P(X \ge 2)$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(6 \,;\, 0{,}3)$ .
a) Calcule $P(X \ge 1)$ .
b) Calcule $E(X)$ et $\sigma(X)$ .
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4
On lance 12 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de « pile ».
a) Précise la loi de $X$ , son espérance et son écart-type.
b) Calcule $P(X \le 1)$ .
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5
Un dé est lancé 60 fois. On note $X$ le nombre de 6 obtenus.
a) Précise la loi de $X$ et calcule $E(X)$ .
b) Détermine l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % pour la fréquence de 6.
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6
La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(8 \,;\, 0{,}25)$ .
a) Calcule $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$ .
b) Déduis-en $P(X \ge 2)$ .
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7
Dans un échantillon de 400 personnes, on observe une fréquence $f = 0{,}53$ pour un caractère supposé de proportion $p = 0{,}5$ .
a) Détermine l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
b) L'écart observé est-il significatif ?
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8
Dans une population, la proportion d'un caractère est $p = 0{,}4$ . On prélève un échantillon de taille $n = 200$ .
a) Vérifie les conditions d'application et détermine l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
b) Une fréquence observée de 0,47 est-elle compatible avec ce modèle ?
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9
Une entreprise affirme que 15 % de ses clients sont insatisfaits. Sur $n = 200$ clients, on observe $f = 0{,}22$ .
a) Détermine l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
b) Au seuil de 5 %, l'affirmation est-elle acceptable ?
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10
Un fabricant annonce un taux de défaut de 2 %. Sur 500 pièces contrôlées, on en trouve 16 défectueuses.
a) Calcule la fréquence observée et l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
b) L'annonce du fabricant est-elle acceptable ?
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