Répétition d’expériences et échantillonnage

Une usine fabrique des ampoules dont 8 % sont défectueuses. Un lot est constitué de 25 ampoules prélevées au hasard dans la production ; on note X le nombre d'ampoules défectueuses (X suit B(25 ; 0,08)). a) Calcule P(X = 0) et P(X = 2). b) Calcule P(X ≤ 2). c) Le lot est refusé s'il contient au moins 3 ampoules défectueuses. Calcule la probabilité de refus, puis donne E(X).

Un candidat est annoncé à une proportion p = 0,45 des intentions de vote. On réalise un sondage sur n = 1000 personnes et on obtient 480 avis favorables. a) Détermine l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour p = 0,45. b) La fréquence observée est-elle dans cet intervalle ? Que peut-on dire de l'annonce ? c) Donne l'intervalle de confiance au niveau 95 % pour la fréquence observée. Peut-on affirmer que le candidat est majoritaire (p > 0,5) ?

On lance 5 fois une pièce truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir « pile » est 0,6. On note X le nombre de « pile ». a) Donne la loi complète, c'est-à-dire P(X = k) pour k allant de 0 à 5. b) Calcule P(X ≥ 3). c) On gagne à un jeu si X ≥ 3. Calcule E(X) et dis si le jeu est favorable au joueur.

Un fabricant garantit que 90 % de ses pièces sont conformes (p = 0,9). Un client teste un lot de n = 200 pièces et décide de rejeter le lot si la fréquence de pièces conformes est inférieure à la borne basse de l'intervalle de fluctuation au seuil de 5 %. a) Détermine cet intervalle de fluctuation. b) Combien de pièces conformes au minimum le lot doit-il contenir pour ne pas être rejeté ? c) Le client observe 172 pièces conformes. Quelle est sa décision ?

La variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n ; p). On sait que E(X) = 6 et V(X) = 4,2. a) Détermine n et p. b) Calcule l'écart-type σ. c) Calcule P(X = 0) puis P(X ≥ 1).

Un archer touche la cible avec une probabilité de 0,75, indépendamment à chaque tir. Il tire 8 flèches et on note X le nombre de tirs réussis. a) Calcule P(X = 8) et P(X = 7). b) Calcule P(X ≥ 6). c) Calcule E(X) et interprète.

Une association veut estimer la proportion p de personnes favorables à une mesure. a) Un premier sondage porte sur n = 100 personnes, dont 58 favorables. Donne la fréquence f et l'intervalle de confiance au niveau 95 %. b) L'association veut une précision (rayon de l'intervalle) inférieure ou égale à 0,02. Quelle taille d'échantillon n minimale faut-il ? c) Un nouveau sondage de cette taille donne f = 0,55. Donne l'intervalle de confiance et dis si l'on peut affirmer que p > 0,5.

On lance 12 fois deux dés équilibrés. À chaque lancer, on considère comme « succès » l'obtention d'une somme égale à 7 (probabilité $\frac{1}{6}$). On note X le nombre de succès. a) Calcule E(X), V(X) et l'écart-type σ. b) Calcule P(X = 2). c) Calcule P(X ≥ 1).

On soupçonne une pièce d'être truquée. On la lance 100 fois et on obtient 60 « pile ». a) Sous l'hypothèse « pièce équilibrée » (p = 0,5), détermine l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. b) La fréquence observée appartient-elle à cet intervalle ? Que conclure ? c) Donne l'espérance et l'écart-type de X sous p = 0,5, et exprime de combien d'écarts-types 60 s'écarte de l'espérance.

Un archer touche la cible avec une probabilité p, indépendamment à chaque tir. Il tire 10 flèches et X désigne le nombre de tirs réussis. a) Montre que P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)¹⁰. b) Détermine la valeur de p pour laquelle P(X ≥ 1) = 0,9. c) Pour p = 0,2, calcule P(X ≥ 1) et E(X), puis détermine le nombre n de flèches nécessaire pour que la probabilité de réussir au moins un tir soit supérieure ou égale à 0,99.