Répétition d'expériences et échantillonnage

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1
Un archer touche la cible avec une probabilité de 0,75, indépendamment à chaque tir. Il tire 8 flèches et on note X le nombre de tirs réussis.
a) Calcule $P(X = 8)$ et $P(X = 7)$ .
b) Calcule $P(X \ge 6)$ .
c) Calcule E(X) et interprète.
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X ~ B(8 ; 0,75).
a) $P(X = 8) = 0{,}75^{8} \approx 0{,}100113$ .
$P(X = 7) = C(8{,}7) \times 0{,}75^{7} \times 0{,}25 = 8 \times 0{,}75^{7} \times 0{,}25 = 2 \times 0{,}75^{7}$ .
$0{,}75^{7} \approx 0{,}133484$ , donc $P(X = 7) \approx 0{,}266968$ .
b) $P(X = 6) = C(8{,}6) \times 0{,}75^{6} \times 0{,}25^{2} = 28 \times 0{,}75^{6} \times 0{,}0625$ .
$0{,}75^{6} \approx 0{,}177979$ , donc $P(X = 6) = 1{,}75 \times 0{,}177979 \approx 0{,}311463$ .
$P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \approx 0{,}311463 + 0{,}266968 + 0{,}100113 \approx 0{,}678544$ .
c) $E(X) = 8 \times 0{,}75 = 6$ : l'archer touche en moyenne 6 fois sur 8 tirs.
2
La variable aléatoire X suit une loi binomiale $B(n \,;\, p)$ . On sait que $E(X) = 6$ et $V(X) = 4{,}2$ .
Calcule $P(X = 0)$ puis $P(X \ge 1)$ .
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a) On a le système $E(X) = np = 6$ et $V(X) = np(1 - p) = 4{,}2$ .
En divisant la deuxième équation par la première : $\frac{np(1-p)}{np} = \frac{4{,}2}{6}$ , soit $1 - p = 0{,}7$ .
Donc $p = 0{,}3$ .
Puis $np = 6$ donne $n = \frac{6}{0{,}3} = 20$ .
b) $\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{4{,}2} \approx 2{,}049$ .
c) $P(X = 0) = 0{,}7^{20} \approx 0{,}000798$ .
$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \approx 1 - 0{,}000798 \approx 0{,}999202$ .
Avec 20 répétitions, il est quasiment certain d'obtenir au moins un succès.
3
On lance 12 fois deux dés équilibrés. À chaque lancer, on considère comme « succès » l'obtention d'une somme égale à 7 (probabilité $\frac{1}{6}$ ). On note X le nombre de succès.
Calcule $P(X \ge 1)$ .
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4
On soupçonne une pièce d'être truquée. On la lance 100 fois et on obtient 60 « pile ».
Donne l'espérance et l'écart-type de X sous $p = 0{,}5$ , et exprime de combien d'écarts-types 60 s'écarte de l'espérance.
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5
Une association veut estimer la proportion p de personnes favorables à une mesure.
Un nouveau sondage, à la taille voulue pour une précision de 0,02, donne $f = 0{,}55$ . Donne l'intervalle de confiance et dis si l'on peut affirmer que $p > 0{,}5$ .
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6
On lance 5 fois une pièce truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir « pile » est 0,6. On note X le nombre de « pile ».
On gagne à un jeu si $X \ge 3$ . Calcule E(X) et dis si le jeu est favorable au joueur.
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7
Une usine fabrique des ampoules dont 8 % sont défectueuses. Un lot est constitué de 25 ampoules prélevées au hasard dans la production ; on note X le nombre d'ampoules défectueuses (X suit B(25 ; 0,08)).
Le lot est refusé s'il contient au moins 3 ampoules défectueuses. Calcule la probabilité de refus, puis donne E(X).
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8
Un fabricant garantit que 90 % de ses pièces sont conformes $(p = 0{,}9)$ . Un client teste un lot de $n = 200$ pièces et décide de rejeter le lot si la fréquence de pièces conformes est inférieure à la borne basse de l'intervalle de fluctuation au seuil de 5 %.
Le client observe 172 pièces conformes. Quelle est sa décision ?
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9
Un archer touche la cible avec une probabilité p, indépendamment à chaque tir. Il tire 10 flèches et X désigne le nombre de tirs réussis.
Pour $p = 0{,}2$ , calcule $P(X \ge 1)$ et E(X), puis détermine le nombre n de flèches nécessaire pour que la probabilité de réussir au moins un tir soit supérieure ou égale à 0,99.
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10
Un candidat est annoncé à une proportion $p = 0{,}45$ des intentions de vote. On réalise un sondage sur $n = 1000$ personnes et on obtient 480 avis favorables.
Donne l'intervalle de confiance au niveau 95 % pour la fréquence observée. Peut-on affirmer que le candidat est majoritaire $(p > 0{,}5)$ ?
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