Répétition d’expériences et échantillonnage
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On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On appelle « succès » l'événement « obtenir un cœur » (il y a 8 cœurs). On note X la variable de Bernoulli associée. a) Détermine la probabilité p de succès. b) Calcule l'espérance E(X) et la variance V(X).
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a) Il y a 8 cœurs parmi 32 cartes, donc p = = = 0,25.
b) X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, donc E(X) = p = 0,25.
La variance vaut V(X) = p(1 − p) = 0,25 × 0,75 = 0,1875.
Vérification : on a bien 0 ≤ V(X) ≤ 0,25, ce qui est cohérent car la variance d'une loi de Bernoulli est maximale (0,25) lorsque p = 0,5. - 2
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(6 ; 0,5). Calcule P(X = 3).
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X compte le nombre de succès sur 6 répétitions indépendantes avec p = 0,5.
La formule est P(X = 3) = C(6,3) × 0,5³ × 0,5³.
Le coefficient binomial C(6,3) = 20 (lu dans le triangle de Pascal).
Donc P(X = 3) = 20 × 0,5³ × 0,5³ = 20 × 0,5⁶ = = 0,3125.
Interprétation : obtenir exactement 3 succès sur 6 est le cas le plus probable ici, car la loi est symétrique (p = 0,5). - 3
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(20 ; 0,1). Calcule l'espérance E(X), la variance V(X) et l'écart-type σ.
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La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(5 ; 0,2). Calcule P(X = 0).
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La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(5 ; 0,2). Calcule P(X = 1).
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On lance 10 fois un dé équilibré et on compte le nombre X de « 6 » obtenus. a) Quelle loi suit X ? Justifie brièvement. b) Calcule E(X).
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La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(4 ; 0,3). Calcule P(X = 4).
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Un sondage réalisé sur un échantillon de n = 400 personnes donne une fréquence de f = 0,52 de réponses favorables. Détermine l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 %.
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Une urne contient 5 boules dont 2 rouges. On tire 3 boules successivement SANS remise. On note X le nombre de boules rouges obtenues. X suit-elle une loi binomiale ? Justifie.
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La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(8 ; 0,25). Calcule P(X = 2).
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