Répétition d'expériences et échantillonnage

🟡 Moyen

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1
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(5 ; 0,4). Calcule la probabilité d'obtenir au moins un succès, c'est-à-dire $P(X \ge 1)$ .
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« Au moins un succès » est le contraire de « aucun succès ».
$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}6^{5}$ .
$0{,}6^{5} = 0{,}07776$ .
$P(X \ge 1) = 1 - 0{,}07776 = 0{,}92224$ .
Astuce : passer par l'événement contraire évite de calculer $P(X=1) + P(X=2)$ + ... $\mathord{}+ P(X=5)$ .
2
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(12 ; 0,5). Calcule $P(X = 6)$ et explique pourquoi c'est la valeur la plus probable.
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$P(X = 6) = C(12{,}6) \times 0{,}5^{6} \times 0{,}5^{6} = C(12{,}6) \times 0{,}5^{12}$ .
$C(12{,}6) = 924$ .
$0{,}5^{12} = \frac{1}{4096}$ .
$P(X = 6) = \frac{924}{4096} \approx 0{,}2256$ .
C'est la valeur la plus probable (le « pic » de la loi) car la loi est symétrique autour de son espérance $E(X) = 12 \times 0{,}5 = 6$ .
3
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n ; 0,2) et on sait que $E(X) = 5$ .
a) Détermine n.
b) Calcule V(X).
c) Calcule $P(X = 0)$ .
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4
On lance simultanément 3 dés équilibrés et on note X le nombre de « 6 » obtenus.
a) Quelle loi suit X ?
b) Calcule $P(X = 1)$ et $P(X = 2)$ .
c) Calcule $P(X \ge 1)$ .
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5
La variable aléatoire X suit la loi binomiale B(10 ; 0,3). Calcule $P(X = 0)$ , $P(X = 1)$ , puis $P(X \ge 2)$ .
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6
Une machine produit 5 % de pièces défectueuses. On prélève 20 pièces dans un très grand lot (prélèvement assimilé à des tirages indépendants) et on note X le nombre de pièces défectueuses. Calcule $P(X = 0)$ , $P(X = 1)$ et $P(X \ge 1)$ .
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7
On souhaite estimer une proportion par un intervalle de confiance $[f - \frac{1}{\sqrt{n}} \,;\, f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ au niveau 95 %. Quelle taille d'échantillon n minimale faut-il choisir pour que l'amplitude (longueur totale) de l'intervalle soit inférieure ou égale à 0,04 ?
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8
Un élève répond totalement au hasard à un QCM de 15 questions, chacune ayant 4 réponses possibles dont une seule correcte. On note X le nombre de bonnes réponses.
a) Quelle est la loi de X ?
b) Calcule E(X).
c) Calcule $P(X = 0)$ .
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9
Dans une population, la proportion d'un caractère est $p = 0{,}3$ . On prélève un échantillon de taille $n = 100$ . Détermine l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
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10
Une entreprise affirme que seulement 20 % de ses clients sont insatisfaits $(p = 0{,}2)$ . Sur un échantillon de $n = 150$ clients, on observe une fréquence $f = 0{,}28$ d'insatisfaits. Au seuil de 5 %, cette affirmation est-elle acceptable ?
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