Modéliser avec une fonction

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x - 2)e^{x}$.
a) Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
b) Donne les variations de $f$ et son extremum.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 24x + 10$.
a) Calcule $f'(x)$ et détermine ses racines.
b) Dresse le tableau de variations complet, extremums compris.

Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = x + \frac{16}{x}$.
a) Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
b) Donne le minimum de $f$ et l'abscisse où il est atteint.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4x$.
a) Calcule $f''(x)$ et étudie la convexité de $f$.
b) Détermine les coordonnées du point d'inflexion.

On clôture un enclos rectangulaire adossé à un mur, avec 80 m de grillage pour les trois autres côtés. On note $x$ la largeur (les deux côtés perpendiculaires au mur).
a) Exprime l'aire $A(x)$ et précise l'intervalle d'étude.
b) Détermine $x$ pour que l'aire soit maximale.

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^{2} - 3)e^{-x}$.
a) Calcule $f'(x)$.
b) Étudie le signe de $f'$ et donne les variations de $f$.

Une boîte sans couvercle a une base carrée de côté $x$ et un volume de $500\,\text{cm}^{3}$. Son aire est $A(x) = x^{2} + \frac{2\,000}{x}$.
a) Calcule $A'(x)$ et étudie son signe.
b) Détermine les dimensions qui minimisent l'aire.

Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$.
a) Calcule $f'(x)$.
b) Détermine le maximum de $f$.

Le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, est $B(x) = -x^{3} + 12x^{2} - 36x + 10$ pour $x \in [0 \,;\, 8]$ (en centaines d'objets).
a) Calcule $B'(x)$ et détermine ses racines.
b) Pour quelle production le bénéfice est-il maximal sur $[0 \,;\, 8]$ ?

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x^{2}/2}$.
a) Calcule $f'(x)$ et donne les variations de $f$.
b) Calcule $f''(x)$ et détermine les points d'inflexion.