Modéliser avec une fonction

🟠 Difficile

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1
Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Détermine le maximum de $f$ .
Voir le corrigéoffert
a) Quotient avec $u = \ln x$ et $v = x^{2}$ .
$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x^{2} - \ln x \times 2x}{x^{4}} = \frac{x - 2x\ln x}{x^{4}} = \frac{1 - 2\ln x}{x^{3}}$ .

b) Sur $]0 \,;\, +\infty[$ , le dénominateur est positif : le signe est celui de $1 - 2\ln x$ .
Il s'annule pour $\ln x = 0{,}5$ , soit $x = \sqrt{e} \approx 1{,}649$ .
$f'$ est positive avant, négative après : c'est un maximum.
$f(\sqrt{e}) = \frac{0{,}5}{e} \approx 0{,}184$ .
2
Soit $f$ définie sur $]0 \,;\, +\infty[$ par $f(x) = x + \frac{16}{x}$ .
a) Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
b) Donne le minimum de $f$ et l'abscisse où il est atteint.
Voir le corrigéoffert
a) $f'(x) = 1 - \frac{16}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 16}{x^{2}}$ .
Sur $]0 \,;\, +\infty[$ , le dénominateur est positif : le signe est celui de $x^{2} - 16$ .
$f'$ est négative sur $]0 \,;\, 4[$ et positive sur $]4 \,;\, +\infty[$ .

b) $f$ décroît puis croît : le minimum est atteint en $x = 4$ .
$f(4) = 4 + 4 = 8$ .
C'est un résultat classique : pour $x + \frac{a}{x}$ , le minimum vaut $2\sqrt{a}$ , atteint en $\sqrt{a}$ .
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^{2} - 3)e^{-x}$ .
a) Calcule $f'(x)$ .
b) Étudie le signe de $f'$ et donne les variations de $f$ .
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4
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x - 2)e^{x}$ .
a) Calcule $f'(x)$ et étudie son signe.
b) Donne les variations de $f$ et son extremum.
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5
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4x$ .
a) Calcule $f''(x)$ et étudie la convexité de $f$ .
b) Détermine les coordonnées du point d'inflexion.
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6
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 24x + 10$ .
a) Calcule $f'(x)$ et détermine ses racines.
b) Dresse le tableau de variations complet, extremums compris.
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7
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x^{2}/2}$ .
a) Calcule $f'(x)$ et donne les variations de $f$ .
b) Calcule $f''(x)$ et détermine les points d'inflexion.
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8
On clôture un enclos rectangulaire adossé à un mur, avec 80 m de grillage pour les trois autres côtés. On note $x$ la largeur (les deux côtés perpendiculaires au mur).
a) Exprime l'aire $A(x)$ et précise l'intervalle d'étude.
b) Détermine $x$ pour que l'aire soit maximale.
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9
Une boîte sans couvercle a une base carrée de côté $x$ et un volume de $500\,\text{cm}^{3}$ . Son aire est $A(x) = x^{2} + \frac{2\,000}{x}$ .
a) Calcule $A'(x)$ et étudie son signe.
b) Détermine les dimensions qui minimisent l'aire.
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10
Le bénéfice d'une entreprise, en milliers d'euros, est $B(x) = -x^{3} + 12x^{2} - 36x + 10$ pour $x \in [0 \,;\, 8]$ (en centaines d'objets).
a) Calcule $B'(x)$ et détermine ses racines.
b) Pour quelle production le bénéfice est-il maximal sur $[0 \,;\, 8]$ ?
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