Modéliser avec une fonction

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1
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{4} - 2$ . Montre que f est convexe sur ℝ.
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On calcule la dérivée première : $f'(x) = 4x^{3}$ .
Puis la dérivée seconde : f'' $(x) = 12x^{2}$ .
Or un carré est toujours positif ou nul : $x^{2} \ge 0$ , donc f'' $(x) = 12x^{2} \ge 0$ pour tout réel x.
Comme f'' $(x) \ge 0$ sur ℝ, la fonction f est convexe sur ℝ.
Réponse : f est convexe sur ℝ (sa courbe tourne sa concavité vers le haut, elle est toujours au-dessus de ses tangentes).
2
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{2} - 10x + 21$ . Résous l'équation $f'(x) = 0$ .
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On calcule d'abord la dérivée : $f'(x) = 2x - 10$ .
On résout $f'(x) = 0$ , c'est-à-dire $2x - 10 = 0$ .
$2x = 10$ , donc $x = 5$ .
Réponse : f'(x) s'annule pour $x = 5$ . C'est l'abscisse où la tangente à la courbe est horizontale (le sommet de la parabole).
3
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = e^x$ . Détermine l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse $a = 0$ .
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4
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = 3e^x - x^{2} + 5$ .
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5
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{2} - 4x + 1$ . Détermine l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse $a = 1$ .
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6
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = -2x^{2} + 12x - 5$ . Montre que f admet un maximum et calcule-le.
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7
Dérive la fonction f définie sur ℝ par $f(x) = 2x^{3} - 5x^{2} + 4x - 7$ .
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8
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} - 6x^{2}$ . Étudie la convexité de f et donne son point d'inflexion.
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9
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{2} - 8x + 3$ . Étudie les variations de f et donne son minimum.
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10
Le bénéfice (en centaines d'euros) d'une entreprise est modélisé sur $[0 \,;\, 40]$ par $B(x) = -x^{2} + 40x - 300$ , où x est le nombre de centaines d'objets fabriqués. Détermine la production qui rend le bénéfice maximal et donne ce bénéfice.
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