Modéliser avec une fonction

🟡 Moyen

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1
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x\cdot e^x$ . Étudie la convexité de f et détermine son point d'inflexion.
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Dérivée première (produit) : $f'(x) = 1\cdot e^x + x\cdot e^x = (x + 1)e^x$ .
Dérivée seconde (produit à nouveau) : f'' $(x) = 1\cdot e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x$ .
Signe de f'' : $e^x > 0$ , donc f''(x) a le signe de $(x + 2)$ .
Pour $x < -2$ : f'' $(x) < 0$ (f concave) ; pour $x > -2$ : f'' $(x) > 0$ (f convexe).
f'' s'annule en changeant de signe en $x = -2$ : point d'inflexion.
Ordonnée : $f(-2) = -2\cdot e^{-2} = -2e^{-2} \approx -0{,}27$ .
Réponse : f est concave sur $]-\infty \,;\, -2]$ , convexe sur $[-2 \,;\, +\infty [$ , point d'inflexion $(-2 \,;\, -2e^{-2})$ .
2
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 2x$ . Étudie la convexité de f et détermine son point d'inflexion.
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Dérivée première : $f'(x) = 3x^{2} - 6x + 2$ .
Dérivée seconde : f'' $(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$ .
Signe de f'' : pour $x < 1$ , f'' $(x) < 0$ donc f est concave ; pour $x > 1$ , f'' $(x) > 0$ donc f est convexe.
f'' s'annule en changeant de signe en $x = 1$ : point d'inflexion.
Ordonnée : $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ .
Réponse : f est concave sur $]-\infty \,;\, 1]$ , convexe sur $[1 \,;\, +\infty [$ , point d'inflexion $(1 \,;\, 0)$ . En ce point, la courbe passe d'un creux à une bosse : l'évolution cesse de ralentir et se met à accélérer.
3
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{2} + x$ . Détermine l'équation de la tangente à la courbe de f au point où le coefficient directeur (la pente) vaut 5.
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4
Soit f définie sur ℝ privé de $-2$ par $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$ . Étudie le sens de variation de f.
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5
Soit f définie sur $[0 \,;\, +\infty [$ par $f(x) = x^{2}e^{-x}$ . Étudie les variations de f et détermine son maximum.
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6
Soit f définie sur $]0 \,;\, +\infty [$ par $f(x) = x + \frac{4}{x}$ . Étudie les variations de f et donne son minimum.
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7
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = (2x + 1)e^x$ . Étudie les variations de f et donne son extremum.
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8
On veut clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur (le mur remplace un des côtés). On dispose de 60 m de grillage pour les trois autres côtés. On note x la largeur (les deux côtés perpendiculaires au mur). Détermine x pour que l'aire soit maximale.
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9
Le coût total de production (en milliers d'euros) de x tonnes d'un produit est $C(x) = x^{2} + 4x + 9$ . Le coût moyen est défini par $CM(x) = \frac{C(x)}{x}$ sur $]0 \,;\, +\infty [$ . Détermine la quantité qui minimise le coût moyen.
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10
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 5$ . Dresse le tableau de variations complet de f (extremums compris).
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