Modéliser avec une fonction

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1
Soit f définie sur ℝ par f(x) = (2x + 1) $e^{x}$ . Étudie les variations de f et donne son extremum.
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On dérive un produit u×v avec u = 2x + 1 (u' = 2) et v = $e^{x}$ (v' = $e^{x}$ ).
(uv)' = u'v + uv' = 2 $e^{x}$ + (2x + 1) $e^{x}$ = (2x + 1 + 2) $e^{x}$ = (2x + 3) $e^{x}$ .
Signe de f' : $e^{x}$ > 0 pour tout x, donc f'(x) a le signe de (2x + 3).
2x + 3 = 0 donne x = $\frac{-3}{2}$ .
Pour x < $\frac{-3}{2}$ : f'(x) < 0 (f décroissante) ; pour x > $\frac{-3}{2}$ : f'(x) > 0 (f croissante).
f admet donc un minimum en x = $\frac{-3}{2}$ .
Calcul : f( $\frac{-3}{2}$ ) = (2×( $\frac{-3}{2}$ ) + 1)e^( $\frac{-3}{2}$ ) = (−3 + 1)e^( $\frac{-3}{2}$ ) = −2e^( $\frac{-3}{2}$ ) ≈ −0,45.
Réponse : f décroît sur ]−∞ ; −1,5], croît sur [−1,5 ; +∞[, minimum −2e^(−1,5).
2
Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5. Dresse le tableau de variations complet de f (extremums compris).
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Dérivée : f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1).
Racines de f' : x = −1 et x = 3.
Signe du trinôme (coefficient 3 > 0) : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.
Donc f'(x) > 0 sur ]−∞ ; −1[, f'(x) < 0 sur ]−1 ; 3[, f'(x) > 0 sur ]3 ; +∞[.
f est croissante, puis décroissante, puis croissante.
Maximum local en x = −1 : f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10.
Minimum local en x = 3 : f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.
Réponse : maximum local 10 en x = −1, minimum local −22 en x = 3.
3
Soit f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x + $\frac{4}{x}$ . Étudie les variations de f et donne son minimum.
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4
Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x² + 2x. Étudie la convexité de f et détermine son point d'inflexion.
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5
On veut clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur (le mur remplace un des côtés). On dispose de 60 m de grillage pour les trois autres côtés. On note x la largeur (les deux côtés perpendiculaires au mur). Détermine x pour que l'aire soit maximale.
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6
Soit f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = x²e^(−x). Étudie les variations de f et détermine son maximum.
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7
Soit f définie sur ℝ par f(x) = x² + x. Détermine l'équation de la tangente à la courbe de f au point où le coefficient directeur (la pente) vaut 5.
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8
Le coût total de production (en milliers d'euros) de x tonnes d'un produit est C(x) = x² + 4x + 9. Le coût moyen est défini par CM(x) = $\frac{C(x)}{x}$ sur ]0 ; +∞[. Détermine la quantité qui minimise le coût moyen.
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9
Soit f définie sur ℝ par f(x) = x· $e^{x}$ . Étudie la convexité de f et détermine son point d'inflexion.
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10
Soit f définie sur ℝ privé de −2 par f(x) = $\frac{3x-1}{x+2}$ . Étudie le sens de variation de f.
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