Modéliser avec une fonction

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1
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = e^x - x - 1$ .
Étudie la convexité de f, et explique comment elle éclaire l'inégalité $e^x \ge x + 1$ .
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a) f'(x) = $e^{x}$ − 1. On a $e^{x}$ − 1 = 0 pour x = 0, $e^{x}$ − 1 < 0 pour x < 0, $e^{x}$ − 1 > 0 pour x > 0.
Donc f est décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[.
b) f admet un minimum en x = 0 : f(0) = e⁰ − 0 − 1 = 1 − 1 = 0.
Comme 0 est le minimum, f(x) ≥ 0 pour tout x, c'est-à-dire $e^{x}$ − x − 1 ≥ 0, soit $e^{x}$ ≥ x + 1. L'inégalité est démontrée pour tout réel x.
c) f''(x) = $e^{x}$ > 0 pour tout x, donc f est convexe sur ℝ : sa courbe est toujours au-dessus de chacune de ses tangentes. La tangente en x = 0 a pour équation y = f'(0)(x − 0) + f(0) = 0, soit l'axe des abscisses. Comme la courbe de f est au-dessus, f(x) ≥ 0, ce qui redonne $e^{x}$ ≥ x + 1.
2
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = (x - 1)e^x$ .
Détermine la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, puis démontre que pour tout réel x : $(x - 1)e^x \ge -1$ .
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a) f'(x) = 1· $e^{x}$ + (x − 1) $e^{x}$ = (1 + x − 1) $e^{x}$ = x· $e^{x}$ .
$e^{x}$ > 0, donc f'(x) a le signe de x : f'(x) < 0 pour x < 0, f'(x) > 0 pour x > 0.
f décroît sur ]−∞ ; 0], croît sur [0 ; +∞[ : minimum en x = 0, f(0) = (0 − 1)e⁰ = −1.
b) f''(x) = 1· $e^{x}$ + x· $e^{x}$ = (x + 1) $e^{x}$ . Signe de (x + 1) : f''(x) < 0 pour x < −1 (concave), f''(x) > 0 pour x > −1 (convexe). Point d'inflexion en x = −1 : f(−1) = (−1 − 1) $e^{−1}$ = $−2e^{−1}$ ≈ −0,74. Coordonnées (−1 ; $−2e^{−1}$ ).
c) Tangente en 0 : y = f'(0)(x − 0) + f(0) = 0×x + (−1) = −1 (droite horizontale).
D'après la question a), le minimum de f est −1, donc f(x) ≥ −1 pour tout réel x, c'est-à-dire (x − 1) $e^{x}$ ≥ −1. L'inégalité est démontrée.
3
Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée pour $t \ge 0$ (t en heures) par $f(t) = t\cdot e^{-0{,}5t}$ .
Détermine l'instant du point d'inflexion, et dis ce qu'il signifie pour l'évolution de la concentration.
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4
On inscrit un rectangle sous la parabole d'équation $y = 12 - x^{2}$ et au-dessus de l'axe des abscisses. Le rectangle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : ses sommets du haut sont $(x \,;\, 12 - x^{2})$ et $(-x \,;\, 12 - x^{2})$ , avec $x > 0$ .
Donne les dimensions du rectangle d'aire maximale, et son aire.
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5
Soit f définie sur $]1 \,;\, +\infty [$ par $f(x) = \frac{x^{2}-x+1}{x-1}$ .
Détermine le minimum de f sur $]1 \,;\, +\infty [$ .
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6
On fabrique une boîte sans couvercle en découpant, aux quatre coins d'un carton carré de 30 cm de côté, quatre carrés identiques de côté x, puis en relevant les bords. Le volume obtenu est $V(x) = x(30 - 2x)^{2}$ .
Détermine la valeur de x qui rend le volume maximal, puis calcule ce volume.
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7
Soit f définie sur ℝ par $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx$ , où a et b sont des réels.
Donne les coordonnées du point d'inflexion.
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8
Le coût total de production de x tonnes d'un produit (en milliers d'euros) est $C(x) = x^{3} - 6x^{2} + 15x$ sur $]0 \,;\, +\infty [$ .
Vérifie que pour la quantité trouvée au a), le coût marginal est égal au coût moyen minimal (propriété classique en économie).
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9
On considère la parabole d'équation $y = x^{2}$ et le point $A(0 \,;\, 1)$ . Pour un point $M(x \,;\, x^{2})$ de la parabole, on note d la distance AM.
Donne la distance minimale AM.
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10
Une entreprise produit x centaines de pièces par jour $(0 \le x \le 10)$ . Son bénéfice quotidien, en milliers d'euros, est $B(x) = -x^{3} + 12x^{2} - 21x - 10$ .
Étudie la convexité de B, détermine son point d'inflexion et dis ce qu'il signifie pour le bénéfice marginal.
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