Modéliser avec une fonction

On fabrique une boîte sans couvercle en découpant, aux quatre coins d'un carton carré de 30 cm de côté, quatre carrés identiques de côté x, puis en relevant les bords. Le volume obtenu est V(x) = x(30 − 2x)².
a) Précise l'ensemble des valeurs possibles pour x.
b) Calcule V'(x) et factorise-la.
c) Détermine la valeur de x qui rend le volume maximal, puis calcule ce volume.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = $e^{x}$ − x − 1.
a) Calcule f'(x), étudie son signe et dresse le tableau de variations.
b) Déduis-en le minimum de f, puis démontre que pour tout réel x : $e^{x}$ ≥ x + 1.
c) Étudie la convexité de f et confirme le résultat de la question b) par un argument géométrique.

Le coût total de production de x tonnes d'un produit (en milliers d'euros) est C(x) = x³ − 6x² + 15x sur ]0 ; +∞[.
a) Exprime le coût moyen CM(x) = $\frac{C(x)}{x}$ et détermine la quantité qui le minimise.
b) Détermine le coût marginal Cm(x) = C'(x).
c) Vérifie que pour la quantité trouvée au a), le coût marginal est égal au coût moyen minimal (propriété classique en économie).

Soit f définie sur ]1 ; +∞[ par f(x) = $\frac{x^{2}-x+1}{x-1}$.
a) Calcule f'(x) et montre qu'elle peut s'écrire f'(x) = $\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}$.
b) Étudie le signe de f'(x) sur ]1 ; +∞[.
c) Déduis-en le minimum de f sur cet intervalle.

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée pour t ≥ 0 (t en heures) par f(t) = t·e^(−0,5t).
a) Calcule f'(t) et détermine l'instant où la concentration est maximale.
b) Calcule f''(t) et détermine l'instant du point d'inflexion.
c) Interprète concrètement le point d'inflexion trouvé au b).

On considère la parabole d'équation y = x² et le point A(0 ; 1). Pour un point M(x ; x²) de la parabole, on note d la distance AM.
a) Montre que d² = x⁴ − x² + 1.
b) Détermine les valeurs de x qui minimisent d² (donc d).
c) Donne la distance minimale AM.

On inscrit un rectangle sous la parabole d'équation y = 12 − x² et au-dessus de l'axe des abscisses. Le rectangle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : ses sommets du haut sont (x ; 12 − x²) et (−x ; 12 − x²), avec x > 0.
a) Exprime l'aire A(x) du rectangle et précise l'intervalle d'étude.
b) Calcule A'(x) et détermine la valeur de x qui maximise l'aire.
c) Donne les dimensions du rectangle d'aire maximale et cette aire.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ + ax² + bx, où a et b sont des réels.
a) Détermine a et b sachant que la courbe de f admet un point d'inflexion en x = 2 et que f admet un extremum local en x = 1.
b) Avec ces valeurs, précise la nature de l'extremum en x = 1 (maximum ou minimum) et calcule f(1).
c) Donne les coordonnées du point d'inflexion.

Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x − 1)$e^{x}$.
a) Calcule f'(x), étudie son signe et donne le minimum de f.
b) Étudie la convexité de f et détermine son point d'inflexion.
c) Détermine la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, puis démontre que pour tout réel x : (x − 1)$e^{x}$ ≥ −1.

Une entreprise produit x centaines de pièces par jour (0 ≤ x ≤ 10). Son bénéfice quotidien, en milliers d'euros, est B(x) = −x³ + 12x² − 21x − 10.
a) Calcule B'(x), factorise-la et étudie son signe sur [0 ; 10].
b) Détermine la production qui maximise le bénéfice sur [0 ; 10] et calcule ce bénéfice maximal.
c) Étudie la convexité de B, détermine le point d'inflexion et interprète-le en termes de bénéfice marginal.