Répartition des richesses et inégalités

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1
La courbe de Lorenz des revenus d'un pays passe par les points suivants.
$p$ : 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1
$L(p)$ : 0 ; 0,09 ; 0,24 ; 0,48 ; 1
a) Estime l'aire $A$ sous la courbe par la méthode des trapèzes.
b) Déduis-en l'indice de Gini.
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a) Chaque trapèze a pour largeur $0{,}25$ .
Son aire vaut $0{,}25 \times \frac{L(p_i) + L(p_{i+1})}{2}$ .
Premier : $0{,}25 \times \frac{0 + 0{,}09}{2} = 0{,}01125$ .
Deuxième : $0{,}25 \times \frac{0{,}09 + 0{,}24}{2} = 0{,}04125$ .
Troisième : $0{,}25 \times \frac{0{,}24 + 0{,}48}{2} = 0{,}09$ .
Quatrième : $0{,}25 \times \frac{0{,}48 + 1}{2} = 0{,}185$ .
$A \approx 0{,}01125 + 0{,}04125 + 0{,}09 + 0{,}185 = 0{,}3275$ .

b) L'indice de Gini vaut $G = 2\left(\frac{1}{2} - A\right) = 1 - 2A$ .
$G = 1 - 2 \times 0{,}3275 = 0{,}345$ .
L'indice est d'environ 0,345 : les inégalités sont modérées.
Un Gini nul correspondrait à l'égalité parfaite, un Gini de 1 à la concentration totale.
2
Sur une courbe de Lorenz, l'aire comprise entre la bissectrice $y = x$ et la courbe vaut 0,21.
a) Calcule l'indice de Gini.
b) Retrouve l'aire $A$ située sous la courbe de Lorenz.
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a) L'indice de Gini est le double de cette aire de concentration.
$G = 2 \times 0{,}21 = 0{,}42$ .

b) L'aire totale sous la bissectrice, sur $[0 \,;\, 1]$ , vaut $\frac{1}{2}$ .
L'aire sous la courbe de Lorenz est donc $A = 0{,}5 - 0{,}21 = 0{,}29$ .
Contrôle par la formule : $G = 1 - 2A = 1 - 0{,}58 = 0{,}42$ ✓.
Un Gini de 0,42 traduit des inégalités assez marquées.
À titre de comparaison, la France se situe autour de 0,29 et le Brésil autour de 0,52.
3
Deux pays ont les courbes de Lorenz suivantes (abscisses 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1).
Pays X — $L$ : 0 ; 0,12 ; 0,29 ; 0,54 ; 1
Pays Y — $L$ : 0 ; 0,06 ; 0,18 ; 0,42 ; 1
a) Calcule l'aire sous chaque courbe.
b) Compare les indices de Gini et conclus.
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4
Dans un pays, les 20 % les plus pauvres perçoivent 5 % des revenus, et les 20 % les plus riches en perçoivent 45 %.
a) Que valent $L(0{,}2)$ et $L(0{,}8)$ ?
b) Que représente l'écart entre ces deux groupes ?
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5
Une courbe de Lorenz est confondue avec la bissectrice $y = x$ .
a) Que vaut l'aire sous la courbe, et l'indice de Gini ?
b) Que signifie concrètement cette situation ?
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6
La courbe de Lorenz d'un pays passe par les points d'abscisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1 avec $L$ : 0 ; 0,04 ; 0,13 ; 0,27 ; 0,50 ; 1.
a) Estime l'aire sous la courbe par la méthode des trapèzes.
b) Calcule l'indice de Gini et commente.
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7
Un pays a un indice de Gini de 0,36.
a) Quelle est l'aire sous sa courbe de Lorenz ?
b) Quelle est l'aire de concentration, entre la bissectrice et la courbe ?
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8
Après une réforme fiscale, l'aire sous la courbe de Lorenz d'un pays passe de 0,30 à 0,34.
a) Calcule l'indice de Gini avant et après.
b) La réforme a-t-elle réduit les inégalités ?
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9
Dans un village de 5 habitants, les revenus mensuels sont 800 ; 1 000 ; 1 200 ; 1 500 ; 5 500 euros.
a) Calcule $L(0{,}2)$ , $L(0{,}4)$ , $L(0{,}6)$ et $L(0{,}8)$ .
b) Estime l'indice de Gini par la méthode des trapèzes.
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10
Deux pays ont le même indice de Gini, 0,35.
a) Leurs courbes de Lorenz sont-elles nécessairement identiques ?
b) Que faut-il regarder pour comparer plus finement leurs inégalités ?
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