Répartition des richesses et inégalités

Dans un pays, la part du revenu total détenue par chaque tranche de 20 % de la population (du plus modeste au plus riche) est :
6 % ; 11 % ; 16 % ; 22 % ; 45 %.
a) Détermine les points de la courbe de Lorenz L(0), L(0,2), …, L(1).
b) Estime l'aire sous la courbe par la méthode des trapèzes.
c) Calcule l'indice de Gini.
d) L'indice de Gini de la France est d'environ 0,29. Ce pays est-il plus ou moins inégalitaire ?

Deux pays A et B ont pour courbes de Lorenz (abscisses 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1) :
Pays A — L : 0 ; 0,10 ; 0,26 ; 0,50 ; 1
Pays B — L : 0 ; 0,14 ; 0,28 ; 0,46 ; 1
a) Montre que les deux courbes se croisent (aucune n'est toujours au-dessus de l'autre) : on ne peut donc pas les comparer par simple lecture graphique.
b) Calcule l'indice de Gini de chaque pays par la méthode des trapèzes.
c) Conclus : quel pays est le plus inégalitaire selon l'indice de Gini ?

On modélise la courbe de Lorenz d'un pays par la fonction L définie sur [0 ; 1] par L(p) = 0,5p² + 0,5p.
a) Vérifie que L(0) = 0 et L(1) = 1, et que L est convexe sur [0 ; 1].
b) Calcule L(0,25), L(0,5) et L(0,75).
c) Estime l'aire sous la courbe par la méthode des trapèzes (4 intervalles), puis calcule l'indice de Gini.
d) La courbe étant convexe, l'estimation par trapèzes est-elle un peu trop grande ou un peu trop petite ? Qu'en déduit-on pour la vraie valeur du Gini ?

Une région décrit la répartition des revenus par une courbe de Lorenz donnée par déciles :
p : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 ; 1
L(p) : 0 ; 0,02 ; 0,05 ; 0,09 ; 0,14 ; 0,20 ; 0,28 ; 0,38 ; 0,50 ; 0,66 ; 1
a) Quelle part du revenu total détiennent les 50 % les plus modestes ?
b) Quelle part détiennent les 10 % les plus riches ?
c) Estime l'aire sous la courbe par la méthode des trapèzes, puis calcule l'indice de Gini.

Dans un pays, les revenus sont décrits par une courbe de Lorenz avant impôts, puis après impôts et prestations (abscisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1) :
Avant — L : 0 ; 0,04 ; 0,12 ; 0,25 ; 0,46 ; 1
Après — L : 0 ; 0,08 ; 0,19 ; 0,34 ; 0,55 ; 1
a) Calcule l'indice de Gini avant et après redistribution (méthode des trapèzes).
b) De combien de points l'indice de Gini a-t-il baissé ?
c) La courbe « après » est-elle au-dessus ou en dessous de la courbe « avant » ? Ce résultat était-il prévisible ?

La courbe de Lorenz d'un pays passe par les points d'abscisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1, avec :
L : 0 ; 0,06 ; x ; 0,34 ; 0,58 ; 1.
On sait de plus que l'indice de Gini, estimé par la méthode des trapèzes, vaut exactement 0,36.
a) Exprime, en fonction de x, l'aire A sous la courbe estimée par les trapèzes.
b) Sachant que G = 0,36, détermine A, puis résous l'équation pour trouver x.
c) Vérifie que la valeur trouvée est cohérente (courbe croissante et convexe).

On dispose d'une courbe de Lorenz croissante passant par les points d'abscisses 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1 :
L : 0 ; 0,08 ; 0,22 ; 0,45 ; 1.
a) La fonction L étant croissante, calcule une estimation de l'aire A par rectangles à gauche (minorant), puis par rectangles à droite (majorant).
b) Encadre ainsi l'aire A.
c) Déduis-en un encadrement de l'indice de Gini.

Une population de 10 personnes se partage un revenu total de 100 000 €, réparti ainsi (revenus individuels, en €, ordre croissant) :
2 000 ; 3 000 ; 4 000 ; 5 000 ; 6 000 ; 8 000 ; 10 000 ; 12 000 ; 20 000 ; 30 000.
a) Vérifie que le total fait 100 000 €, puis donne les points L(0,2), L(0,4), L(0,6), L(0,8), L(1) obtenus en cumulant les revenus des personnes les plus modestes.
b) Estime l'aire sous la courbe par la méthode des trapèzes.
c) Calcule l'indice de Gini.

On considère deux pays dont les courbes de Lorenz passent par les abscisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1 :
Pays P — L : 0 ; 0,10 ; 0,25 ; 0,45 ; 0,70 ; 1
Pays Q — L : 0 ; 0,15 ; 0,30 ; 0,45 ; 0,60 ; 1
a) Calcule l'indice de Gini de chaque pays (méthode des trapèzes).
b) Que constate-t-on ?
c) Les deux répartitions sont-elles pour autant identiques ? Compare la part des 20 % les plus modestes et celle des 20 % les plus riches dans chaque pays, et conclus sur les limites de l'indice de Gini.

Un pays a aujourd'hui une courbe de Lorenz passant par (abscisses 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1) :
L : 0 ; 0,09 ; 0,22 ; 0,42 ; 1.
Le gouvernement veut faire passer l'indice de Gini à 0,28. La réforme ne modifiera que le point d'abscisse 0,5, qui deviendra (0,5 ; m), les trois autres points restant inchangés.
a) Calcule l'indice de Gini actuel.
b) Quelle aire A faut-il viser pour obtenir G = 0,28 ?
c) Détermine la valeur m nécessaire.
d) Cette valeur est-elle réaliste (courbe croissante) ?