Répartition des richesses et inégalités

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La courbe de Lorenz d'un pays passe par les points d'abscisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1, avec :
L : 0 ; 0,06 ; x ; 0,34 ; 0,58 ; 1.
On sait de plus que l'indice de Gini, estimé par la méthode des trapèzes, vaut exactement 0,36.
Vérifie que la valeur trouvée est cohérente (courbe croissante et convexe).
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a) Largeur $h = 0{,}2$ . Formule des trapèzes :
$A = 0{,}2 \times [ \frac{L(0) + L(1)}{2} + 0{,}06 + x + 0{,}34 + 0{,}58 ]$
$A = 0{,}2 \times [0{,}5 + 0{,}06 + x + 0{,}34 + 0{,}58] = 0{,}2 \times [1{,}48 + x] = 0{,}296 + 0{,}2x$ .
b) On sait que $G = 1 - 2A$ , donc $A = \frac{1 - G}{2} = \frac{1 - 0{,}36}{2} = \frac{0{,}64}{2} = 0{,}32$ .
On résout : $0{,}296 + 0{,}2x = 0{,}32$ , soit $0{,}2x = 0{,}024$ , donc $x = \frac{0{,}024}{0{,}2} = 0{,}12$ .
c) Les ordonnées deviennent 0 ; 0,06 ; 0,12 ; 0,34 ; 0,58 ; 1 : elles sont bien croissantes, et les écarts successifs (0,06 ; 0,06 ; 0,22 ; 0,24 ; 0,42) augmentent, ce qui traduit une courbe convexe. La valeur $x = 0{,}12$ est donc cohérente.
2
On dispose d'une courbe de Lorenz croissante passant par les points d'abscisses 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1 :
L : 0 ; 0,08 ; 0,22 ; 0,45 ; 1.
Donne un encadrement de l'indice de Gini.
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a) Largeur h = 0,25. Comme L est croissante, sur chaque intervalle la valeur au bord gauche est la plus petite et celle au bord droit la plus grande.
Rectangles à gauche (minorant) : 0,25 × (0 + 0,08 + 0,22 + 0,45) = 0,25 × 0,75 = 0,1875.
Rectangles à droite (majorant) : 0,25 × (0,08 + 0,22 + 0,45 + 1) = 0,25 × 1,75 = 0,4375.
b) Comme L est croissante : 0,1875 ≤ A ≤ 0,4375.
c) G = 1 − 2A. Attention : plus A est grand, plus G est petit — le sens de l'inégalité s'inverse.
Pour A = 0,4375 : G = 1 − 0,875 = 0,125 (borne basse du Gini).
Pour A = 0,1875 : G = 1 − 0,375 = 0,625 (borne haute du Gini).
Donc 0,125 ≤ G ≤ 0,625.
Cet encadrement est large ; la méthode des trapèzes, moyenne des deux, donne ici A ≈ 0,3125 et G ≈ 0,375, bien plus précis.
3
Dans un pays, les revenus sont décrits par une courbe de Lorenz avant impôts, puis après impôts et prestations (abscisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1) :
Avant — L : 0 ; 0,04 ; 0,12 ; 0,25 ; 0,46 ; 1
Après — L : 0 ; 0,08 ; 0,19 ; 0,34 ; 0,55 ; 1
La courbe « après » est-elle au-dessus ou en dessous de la courbe « avant » ? Explique pourquoi c'était prévisible.
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4
Deux pays A et B ont pour courbes de Lorenz (abscisses 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1) :
Pays A — L : 0 ; 0,10 ; 0,26 ; 0,50 ; 1
Pays B — L : 0 ; 0,14 ; 0,28 ; 0,46 ; 1
Quel pays est le plus inégalitaire selon l'indice de Gini ?
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5
Un pays a aujourd'hui une courbe de Lorenz passant par (abscisses 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 ; 1) :
L : 0 ; 0,09 ; 0,22 ; 0,42 ; 1.
Le gouvernement veut faire passer l'indice de Gini à 0,28. La réforme ne modifiera que le point d'abscisse 0,5, qui deviendra (0,5 ; m), les trois autres points restant inchangés.
Détermine la valeur m nécessaire, et dis si elle est réaliste (courbe croissante).
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6
On considère deux pays dont les courbes de Lorenz passent par les abscisses 0 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1 :
Pays P — L : 0 ; 0,10 ; 0,25 ; 0,45 ; 0,70 ; 1
Pays Q — L : 0 ; 0,15 ; 0,30 ; 0,45 ; 0,60 ; 1
Les deux répartitions sont-elles pour autant identiques ? Regarde la part des 20 % les plus modestes et la part des 20 % les plus riches, puis explique en quoi l'indice de Gini reste insuffisant.
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7
On modélise la courbe de Lorenz d'un pays par la fonction L définie sur $[0 \,;\, 1]$ par $L(p) = 0{,}5p^{2} + 0{,}5p$ .
La courbe étant convexe, l'estimation par trapèzes est-elle trop grande ou trop petite ? Que vaut alors la vraie valeur du Gini, par rapport à l'estimation ?
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8
Dans un pays, la part du revenu total détenue par chaque tranche de 20 % de la population (du plus modeste au plus riche) est :
6 % ; 11 % ; 16 % ; 22 % ; 45 %.
L'indice de Gini de la France est d'environ 0,29. Ce pays est-il plus ou moins inégalitaire ?
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9
Une région décrit la répartition des revenus par une courbe de Lorenz donnée par déciles :
p : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 ; 1
L(p) : 0 ; 0,02 ; 0,05 ; 0,09 ; 0,14 ; 0,20 ; 0,28 ; 0,38 ; 0,50 ; 0,66 ; 1
Estime l'aire sous la courbe par la méthode des trapèzes, puis calcule l'indice de Gini.
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10
Une population de 10 personnes se partage un revenu total de 100 000 €, réparti ainsi (revenus individuels, en €, ordre croissant) :
2 000 ; 3 000 ; 4 000 ; 5 000 ; 6 000 ; 8 000 ; 10 000 ; 12 000 ; 20 000 ; 30 000.
Calcule l'indice de Gini.
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