Inférence bayésienne

🟠 Difficile

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1
Un candidat répond à un QCM. Il connaît la réponse avec probabilité 0,7 ; sinon il répond au hasard parmi 4 propositions.
a) Calcule la probabilité qu'il donne la bonne réponse.
b) Sachant que sa réponse est correcte, quelle est la probabilité qu'il connaissait vraiment la réponse ?
Voir le corrigéoffert
a) S'il connaît la réponse, il répond juste à coup sûr : $0{,}7 \times 1 = 0{,}7$ .
Sinon, il a une chance sur 4 : $0{,}3 \times 0{,}25 = 0{,}075$ .
$P(\text{juste}) = 0{,}7 + 0{,}075 = 0{,}775$ .

b) $P_{\text{juste}}(\text{sait}) = \frac{0{,}7}{0{,}775} \approx 0{,}903$ .
Une bonne réponse vient donc du savoir dans 90 % des cas.
La probabilité est passée de 0,7 à 0,903 : l'information « la réponse est juste » renforce l'hypothèse.
Avec 10 propositions au lieu de 4, elle monterait à environ 0,959.
En effet le hasard ne produirait alors que $0{,}3 \times 0{,}1 = 0{,}03$ de bonnes réponses.
Et $\frac{0{,}7}{0{,}73} \approx 0{,}959$ .
À l'inverse, avec 2 propositions, elle ne serait que de $\frac{0{,}7}{0{,}85} \approx 0{,}824$ .
Plus le QCM offre de choix, plus une bonne réponse est un signe fiable de connaissance.
2
Deux pièces se ressemblent : l'une est équilibrée, l'autre donne pile 3 fois sur 4. On en choisit une au hasard et on obtient pile.
a) Calcule la probabilité d'obtenir pile.
b) Quelle est la probabilité d'avoir choisi la pièce truquée ?
Voir le corrigéoffert
a) Chaque pièce est choisie avec probabilité 0,5.
Chemin équilibrée puis pile : $0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$ .
Chemin truquée puis pile : $0{,}5 \times 0{,}75 = 0{,}375$ .
$P(\text{pile}) = 0{,}25 + 0{,}375 = 0{,}625$ .

b) $P_{\text{pile}}(\text{truquée}) = \frac{0{,}375}{0{,}625} = 0{,}6$ .
La probabilité passe de 0,5 à 0,6 : un seul pile penche déjà vers la pièce truquée.
Avec deux piles consécutifs, elle monterait à environ 0,692.
En effet, avec deux piles : $\frac{0{,}5 \times 0{,}5625}{0{,}5 \times 0{,}25 + 0{,}5 \times 0{,}5625} \approx 0{,}692$ .
Chaque observation met à jour la probabilité : c'est le principe de l'inférence bayésienne.
Avec un face, au contraire, la probabilité tomberait à $\frac{0{,}125}{0{,}375} \approx 0{,}333$ .
Une seule observation ne suffit donc jamais à trancher.
Il faut répéter l'expérience pour que la probabilité s'approche de 0 ou de 1.
8 corrigés détaillés pas à pas restent à débloquer
Chacun reprend l'énoncé, montre le calcul étape par étape et dit où se trouve le piège.
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3
Un email est un spam avec probabilité 0,4. Le mot « gratuit » apparaît dans 60 % des spams et dans 5 % des messages légitimes.
a) Calcule la probabilité qu'un email contienne ce mot.
b) Un email contient « gratuit » : quelle est la probabilité que ce soit un spam ?
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
4
Dans une population, 30 % des personnes sont vaccinées. Parmi les vaccinées, 5 % attrapent la grippe ; parmi les non vaccinées, 25 %.
a) Calcule la probabilité qu'une personne attrape la grippe.
b) Sachant qu'une personne a la grippe, quelle est la probabilité qu'elle soit vaccinée ?
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
5
Dans une entreprise, 40 % des salariés sont cadres. 80 % des cadres suivent une formation, contre 30 % des non-cadres.
a) Calcule la probabilité qu'un salarié suive une formation.
b) Un salarié suit une formation : quelle est la probabilité qu'il soit cadre ?
🔒 Corrigé détailléVoir ce qu'il contient →
6
L'urne 1 contient 4 boules rouges et 1 verte ; l'urne 2 contient 2 rouges et 3 vertes. On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule.
a) Calcule la probabilité de tirer une rouge.
b) Sachant que la boule est rouge, quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne 1 ?
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7
Une alarme se déclenche dans 99 % des cas d'intrusion, et se déclenche à tort 2 % des nuits sans intrusion. Il y a une intrusion une nuit sur 500.
a) Calcule la probabilité que l'alarme se déclenche une nuit donnée.
b) L'alarme sonne : quelle est la probabilité qu'il y ait vraiment intrusion ?
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8
Trois fournisseurs livrent des composants : A en fournit 50 %, B 30 % et C 20 %. Les taux de défaut sont respectivement 1 %, 3 % et 4 %.
a) Calcule la probabilité qu'un composant soit défectueux.
b) Sachant qu'il est défectueux, quelle est la probabilité qu'il vienne de C ?
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9
Un test a une prévalence $P(M) = 0{,}01$ , une sensibilité $P_M(T^{+}) = 0{,}98$ et une spécificité $P_{\overline{M}}(T^{-}) = 0{,}95$ .
a) Calcule $P(T^{+})$ .
b) Calcule la valeur prédictive positive $P_{T^{+}}(M)$ et interprète.
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10
Une usine a deux machines : A fabrique 70 % des pièces, B le reste. A produit 2 % de pièces défectueuses, B en produit 6 %.
a) Calcule la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.
b) Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de B ?
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