Inférence bayésienne

🟠 Difficile

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1
Une usine a deux machines : A fabrique 70 % des pièces, B le reste. A produit 2 % de pièces défectueuses, B en produit 6 %.
a) Calcule la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.
b) Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de B ?
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a) On construit l'arbre : d'abord la machine, puis l'état de la pièce.
Chemin A puis défectueuse : $0{,}70 \times 0{,}02 = 0{,}014$ .
Chemin B puis défectueuse : $0{,}30 \times 0{,}06 = 0{,}018$ .
Les deux chemins sont incompatibles : on additionne.
$P(D) = 0{,}014 + 0{,}018 = 0{,}032$ , soit 3,2 %.
C'est la formule des probabilités totales.

b) La formule de Bayes donne $P_D(B) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)}$ .
$P_D(B) = \frac{0{,}018}{0{,}032} = 0{,}5625$ .
Plus de la moitié des pièces défectueuses viennent donc de B.
Pourtant B ne produit que 30 % des pièces : sa qualité est bien moins bonne.
On peut le vérifier sur 1 000 pièces : 700 viennent de A, dont 14 défectueuses.
Et 300 viennent de B, dont 18 défectueuses.
Sur 32 pièces défectueuses au total, 18 viennent bien de B, soit 56,25 % ✓.
Ce raisonnement sur des effectifs fictifs est souvent le plus parlant.
Il évite de confondre $P_D(B)$ et $P_B(D)$ , qui valent ici 0,5625 et 0,06.
2
Un test a une prévalence $P(M) = 0{,}01$ , une sensibilité $P_M(T^{+}) = 0{,}98$ et une spécificité $P_{\overline{M}}(T^{-}) = 0{,}95$ .
a) Calcule $P(T^{+})$ .
b) Calcule la valeur prédictive positive $P_{T^{+}}(M)$ et interprète.
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a) La spécificité donne $P_{\overline{M}}(T^{+}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$ .
Chemin « malade puis positif » : $0{,}01 \times 0{,}98 = 0{,}0098$ .
Chemin « sain puis positif » : $0{,}99 \times 0{,}05 = 0{,}0495$ .
$P(T^{+}) = 0{,}0098 + 0{,}0495 = 0{,}0593$ , soit environ 5,93 %.

b) $P_{T^{+}}(M) = \frac{0{,}0098}{0{,}0593} \approx 0{,}165$ .
Seules 16,5 % des personnes positives sont réellement malades.
Ce résultat surprend, car la sensibilité est excellente.
Mais la maladie est rare : les faux positifs, issus d'une population bien plus nombreuse, dominent.
Sur 10 000 personnes : 98 vrais positifs, mais 495 faux positifs.
Contrôle : $\frac{98}{98 + 495} = \frac{98}{593} \approx 0{,}165$ ✓.
C'est pourquoi un test positif est presque toujours suivi d'un second examen.
Si la prévalence passait à 10 %, la valeur prédictive positive monterait à environ 0,685.
La qualité d'un test ne se juge donc jamais indépendamment de la population testée.
À l'inverse, la valeur prédictive négative vaut ici $\frac{0{,}9405}{0{,}9407} \approx 0{,}9998$ : un test négatif est très fiable.
3
L'urne 1 contient 4 boules rouges et 1 verte ; l'urne 2 contient 2 rouges et 3 vertes. On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule.
a) Calcule la probabilité de tirer une rouge.
b) Sachant que la boule est rouge, quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'urne 1 ?
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4
Dans une population, 30 % des personnes sont vaccinées. Parmi les vaccinées, 5 % attrapent la grippe ; parmi les non vaccinées, 25 %.
a) Calcule la probabilité qu'une personne attrape la grippe.
b) Sachant qu'une personne a la grippe, quelle est la probabilité qu'elle soit vaccinée ?
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5
Trois fournisseurs livrent des composants : A en fournit 50 %, B 30 % et C 20 %. Les taux de défaut sont respectivement 1 %, 3 % et 4 %.
a) Calcule la probabilité qu'un composant soit défectueux.
b) Sachant qu'il est défectueux, quelle est la probabilité qu'il vienne de C ?
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6
Un candidat répond à un QCM. Il connaît la réponse avec probabilité 0,7 ; sinon il répond au hasard parmi 4 propositions.
a) Calcule la probabilité qu'il donne la bonne réponse.
b) Sachant que sa réponse est correcte, quelle est la probabilité qu'il connaissait vraiment la réponse ?
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7
Une alarme se déclenche dans 99 % des cas d'intrusion, et se déclenche à tort 2 % des nuits sans intrusion. Il y a une intrusion une nuit sur 500.
a) Calcule la probabilité que l'alarme se déclenche une nuit donnée.
b) L'alarme sonne : quelle est la probabilité qu'il y ait vraiment intrusion ?
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8
Deux pièces se ressemblent : l'une est équilibrée, l'autre donne pile 3 fois sur 4. On en choisit une au hasard et on obtient pile.
a) Calcule la probabilité d'obtenir pile.
b) Quelle est la probabilité d'avoir choisi la pièce truquée ?
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9
Un email est un spam avec probabilité 0,4. Le mot « gratuit » apparaît dans 60 % des spams et dans 5 % des messages légitimes.
a) Calcule la probabilité qu'un email contienne ce mot.
b) Un email contient « gratuit » : quelle est la probabilité que ce soit un spam ?
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10
Dans une entreprise, 40 % des salariés sont cadres. 80 % des cadres suivent une formation, contre 30 % des non-cadres.
a) Calcule la probabilité qu'un salarié suive une formation.
b) Un salarié suit une formation : quelle est la probabilité qu'il soit cadre ?
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